Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5017. feladat (2019. március)

B. 5017. Van-e olyan \(\displaystyle f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) függvény, amely teljesíti a következő tulajdonságokat?

(1) \(\displaystyle x_1\ne x_2\) esetén \(\displaystyle f(x_1)\ne f(x_2)\) teljesül,

(2) léteznek olyan \(\displaystyle a,b>0\) konstansok, melyekre bármely \(\displaystyle x\in\mathbb{R}\) esetén

\(\displaystyle f(x^2)- \big(f(ax+b)\big)^2\ge \frac14. \)

(4 pont)

A beküldési határidő 2019. április 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Tegyük fel indirekten, hogy létezik a feltételeknek megfelelő \(\displaystyle f\) függvény.

Az \(\displaystyle x^2-ax-b=0\) másodfokú egyenletnek két különböző megoldása van, hiszen a diszkriminánsa, \(\displaystyle a^2+4b\) pozitív. A két megoldás legyen \(\displaystyle x_1\) és \(\displaystyle x_2\), ekkor tehát \(\displaystyle x_1\ne x_2\).

Legyen most \(\displaystyle i\in \{1,2\}\) és tekintsük a feltételt \(\displaystyle x=x_i\) mellett:

\(\displaystyle f(x_i^2)-(f(ax_i+b))^2\geq \frac14.\)

Legyen \(\displaystyle y_i=f(x_i^2)=f(ax_i+b)\). Ekkor:

\(\displaystyle y_i-y_i^2\geq \frac14,\)

azaz

\(\displaystyle 0\geq \left(y_i-\frac12\right)^2.\)

Tehát \(\displaystyle y_i=1/2\), hiszen egy nemnulla valós szám négyzete pozitív lenne.

Ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle f(ax_1+b)=y_1=1/2=y_2=f(ax_2+b)\). Az (1) feltétel (vagyis \(\displaystyle f\) injektivitása) alapján ebből \(\displaystyle ax_1+b=ax_2+b\) következik, ami \(\displaystyle a>0\) miatt azt jelenti, hogy \(\displaystyle x_1=x_2\). Mivel korábban már láttuk, hogy \(\displaystyle x_1\ne x_2\), ezzel ellentmondásra jutottunk.

Tehát a feltételeknek megfelelő függvény nem létezik.


Statisztika:

A B. 5017. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. márciusi matematika feladatai