Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5026. feladat (2019. április)

B. 5026. Adott ellipszis nagytengelyének végpontjaitól különböző tetszőleges \(\displaystyle P\) pontját kössük össze az \(\displaystyle F_1\), \(\displaystyle F_2\) fókuszpontokkal. Az \(\displaystyle F_1PF_2\sphericalangle\) szögfelezője \(\displaystyle E\)-ben metszi \(\displaystyle F_1F_2\)-t. A \(\displaystyle P\)-n átmenő, \(\displaystyle F_1F_2\)-t \(\displaystyle E\)-ben érintő kör \(\displaystyle PF_1\)-et \(\displaystyle G\)-ben, \(\displaystyle PF_2\)-t \(\displaystyle H\)-ban metszi. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle GH\) hossza nem függ \(\displaystyle P\) megválasztásától.

Javasolta: Németh László (Fonyód)

(4 pont)

A beküldési határidő 2019. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. A kerületi szögek tétele miatt a \(\displaystyle GE\) és \(\displaystyle EH\) körívek egyenlő hosszúak, ezért \(\displaystyle GH\) párhuzamos \(\displaystyle F_1F_2\)-vel. Ebből következik, hogy a \(\displaystyle PGH\) és \(\displaystyle PF_1F_2\) háromszögek hasonlóak, a hasonlóság aránya \(\displaystyle h=\frac{GH}{F_1F_2}=\frac{PG}{PF_1}\). Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle h\) nem függ a \(\displaystyle P\) pont helyzetétől.

A szögfelező tétel miatt \(\displaystyle F_2E/F_1E=PF_2/PF_1\), így

\(\displaystyle \frac{F_1F_2}{F_1E}=1+\frac{F_2E}{F_1E}=1+\frac{PF_2}{PF_1}=\frac{PF_1+PF_2}{PF_1}, \)

innen pedig \(\displaystyle F_1E=\dfrac{F_1F_2}{PF_1+PF_2}\cdot PF_1\).

Emiatt az \(\displaystyle F_1\) pontnak a körre vonatkozó hatványa

\(\displaystyle F_1G\cdot PF_1=F_1E^2=\left( \dfrac{F_1F_2}{PF_1+PF_2}\cdot PF_1 \right)^2, \)

ezért \(\displaystyle F_1G=\left( \dfrac{F_1F_2}{PF_1+PF_2}\right)^2\cdot PF_1\), tehát

\(\displaystyle h=\frac{PG}{PF_1}=\frac{PF_1-F_1G}{PF_1}=1-\frac{F_1G}{PF_1}=1-\left( \dfrac{F_1F_2}{PF_1+PF_2}\right)^2, \)

ami valóban független a \(\displaystyle P\) pont helyzetétől, és így \(\displaystyle GH=h\cdot F_1F_2\) is.


Statisztika:

A B. 5026. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. áprilisi matematika feladatai