A B. 5026. feladat (2019. április)

B. 5026. Adott ellipszis nagytengelyének végpontjaitól különböző tetszőleges $\displaystyle P$ pontját kössük össze az $\displaystyle F_1$, $\displaystyle F_2$ fókuszpontokkal. Az $\displaystyle F_1PF_2\sphericalangle$ szögfelezője $\displaystyle E$-ben metszi $\displaystyle F_1F_2$-t. A $\displaystyle P$-n átmenő, $\displaystyle F_1F_2$-t $\displaystyle E$-ben érintő kör $\displaystyle PF_1$-et $\displaystyle G$-ben, $\displaystyle PF_2$-t $\displaystyle H$-ban metszi. Mutassuk meg, hogy $\displaystyle GH$ hossza nem függ $\displaystyle P$ megválasztásától.

Javasolta: Németh László (Fonyód)

(4 pont)

A beküldési határidő 2019. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A kerületi szögek tétele miatt a $\displaystyle GE$ és $\displaystyle EH$ körívek egyenlő hosszúak, ezért $\displaystyle GH$ párhuzamos $\displaystyle F_1F_2$-vel. Ebből következik, hogy a $\displaystyle PGH$ és $\displaystyle PF_1F_2$ háromszögek hasonlóak, a hasonlóság aránya $\displaystyle h=\frac{GH}{F_1F_2}=\frac{PG}{PF_1}$. Megmutatjuk, hogy $\displaystyle h$ nem függ a $\displaystyle P$ pont helyzetétől.

A szögfelező tétel miatt $\displaystyle F_2E/F_1E=PF_2/PF_1$, így

$\displaystyle \frac{F_1F_2}{F_1E}=1+\frac{F_2E}{F_1E}=1+\frac{PF_2}{PF_1}=\frac{PF_1+PF_2}{PF_1},$

innen pedig $\displaystyle F_1E=\dfrac{F_1F_2}{PF_1+PF_2}\cdot PF_1$.

Emiatt az $\displaystyle F_1$ pontnak a körre vonatkozó hatványa

$\displaystyle F_1G\cdot PF_1=F_1E^2=\left( \dfrac{F_1F_2}{PF_1+PF_2}\cdot PF_1 \right)^2,$

ezért $\displaystyle F_1G=\left( \dfrac{F_1F_2}{PF_1+PF_2}\right)^2\cdot PF_1$, tehát

$\displaystyle h=\frac{PG}{PF_1}=\frac{PF_1-F_1G}{PF_1}=1-\frac{F_1G}{PF_1}=1-\left( \dfrac{F_1F_2}{PF_1+PF_2}\right)^2,$

ami valóban független a $\displaystyle P$ pont helyzetétől, és így $\displaystyle GH=h\cdot F_1F_2$ is.

Statisztika:

26 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Baski Bence, Beke Csongor, Bencsik Ádám, Csaplár Viktor, Geretovszky Anna, Győrffi Ádám György, Hámori Janka, Hegedűs Dániel, Jánosik Áron, Nagy Nándor, Nguyen Bich Diep, Osztényi József, Rareș Polenciuc, Sándor Péter, Sebestyén Pál Botond, Szabó 991 Kornél, Telek Zsigmond , Tiderenczl Dániel, Tóth Ábel, Várkonyi Zsombor, Velich Nóra, Weisz Máté, Zsigri Bálint.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2019. áprilisi matematika feladatai