Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5032. feladat (2019. május)

B. 5032. Mi a mértani helye egy egyenlő szárú háromszög belsejében azoknak a pontoknak, amelyeknek a száraktól mért távolságaik mértani közepe az alaptól mért távolsággal egyenlő?

(4 pont)

A beküldési határidő 2019. június 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Helyezzük el a háromszöget derékszögű koordinátarendszerben úgy, hogy az alap végpontjainak koordinátái \(\displaystyle (a,m)\) és \(\displaystyle (-a,m)\) legyenek, a harmadik csúcs pedig az origó. A szárak egyenesének egyenlete ekkor

\(\displaystyle e_1:\ mx-ay=0 \text{\ és\ } e_2:\ mx+ay=0. \)

A háromszöglemez \(\displaystyle (\xi, \eta)\) koordinátájú pontjának az \(\displaystyle e_1\), illetve \(\displaystyle e_2\) egyenestől való előjeles távolsága rendre

\(\displaystyle d_1=\frac{1}{\sqrt{m^2+a^2}}(m\xi -a\eta) \text{\ és\ } d_2=\frac{1}{\sqrt{m^2+a^2}}(m\xi +a\eta); \)

e két távolság különböző előjelű, ezért a mértani közepük négyzete

\(\displaystyle -d_1d_2 = -\frac{1}{m^2+a^2}(m^2\xi^2 -a^2\eta^2). \)

A \(\displaystyle (\xi, \eta)\) koordinátájú pontnak az alaptól való nemnegatív távolsága \(\displaystyle \eta -m\), így a keresett alakzat háromszögbe eső részének egyenlete:

\(\displaystyle -\frac{1}{m^2+a^2}(m^2\xi^2 -a^2\eta^2) = (\eta -m)^2, \)

azaz

\(\displaystyle \xi^2 + \eta^2 -2\frac{m^2+a^2}{m}\eta + (m^2+a^2) = 0, \)

ami egy kör egyenlete.

A mértani helyhez a háromszög alapjának mindkét végpontja és a beírt kör középpontja is nyilván hozzá tartozik, ezért a keresett pontok halmaza e három pont által meghatározott körvonalnak a háromszög lemezre eső íve.


Statisztika:

A B. 5032. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. májusi matematika feladatai