 |
A B. 5055. feladat (2019. november) |
B. 5055. Adott a síkon a \(\displaystyle k\) kör. Mi azon háromszögek magasságpontjainak mértani helye, amelyeknek \(\displaystyle k\) a körülírt köre?
(3 pont)
A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen az adott \(\displaystyle k\) kör középpontja a \(\displaystyle K\) pont, sugara \(\displaystyle r\). Azt állítjuk, hogy a mértani hely egy \(\displaystyle K\) középpontú \(\displaystyle 3r\) sugarú nyílt körlap. Ennek bizonyításához irányítsunk a \(\displaystyle K\) pontból a háromszög csúcsaiba vektorokat. Ismert, hogy e három vektor összege a háromszög magasságpontjába mutat. Mivel mindegyik vektor hossza éppen \(\displaystyle r\), az összegvektor hossza legfeljebb \(\displaystyle 3r\), továbbá nem eshetnek a csúcsok egybe, így mindenképpen a \(\displaystyle 3r\) sugarú kör belső pontjához jutunk. Másrészt meg kell még mutatnunk, hogy a nyílt körlap bármely pontja lehet egy megfelelő háromszög magasságpontja. Ha ez a pont a \(\displaystyle K\) pont, akkor a háromszög szabályos. Ha egy \(\displaystyle K\)-tól különböző pont az \(\displaystyle M\) magasságpont, akkor vegyük a \(\displaystyle KM\) félegyenest és mérjünk fel erre \(\displaystyle K\)-tól kezdve egy \(\displaystyle r\) hosszúságú vektort.
Ennek a csúcsa legyen a háromszög \(\displaystyle A\) csúcsa. Ezután az \(\displaystyle AM\) szakaszra, mint alapra szerkesszünk egy egyenlő szárú háromszöget, amelynek szárai \(\displaystyle r\) hosszúságúak, a szárak közös végpontja pedig legyen a \(\displaystyle P\) pont. A \(\displaystyle P\) pont biztosan létezik, mert az \(\displaystyle AM\) szakasz hossza kisebb \(\displaystyle 2r\)-nél. Az \(\displaystyle \overrightarrow{AP}\) és a \(\displaystyle \overrightarrow{PM}\) vektorokat a \(\displaystyle K\) pontból felmérve a két vektor csúcsa legyen a \(\displaystyle B\), illetve a \(\displaystyle C\) pont. Így egy olyan \(\displaystyle ABC\) háromszöget adtunk meg, amelynek magasságpontja éppen az \(\displaystyle M\) pont.
Statisztika:
97 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 58 versenyző. 2 pontot kapott: 17 versenyző. 1 pontot kapott: 17 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző.
A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai