Problem B. 5070. (January 2020)
B. 5070. There are two kinds of people living on an island: some always tell the truth, while some always lie. Ten inhabitants of the island were numbered as \(\displaystyle 1,2,\ldots,10\). Then everyone was asked the same three questions: ``Is your number even?'', ``Is your number divisible by 4?'', ``Is your number divisible by 5?''. The number of those saying ``Yes'' was three, six, and two, respectively in the three cases. Which numbers were assigned to liars?
Proposed by S. Róka, Nyíregyháza
(4 pont)
Deadline expired on February 10, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyen \(\displaystyle x_i=1\), ha az \(\displaystyle i\) számot kapó ember hazudós, és \(\displaystyle x_i=0\) különben (\(\displaystyle 1\leq i\leq 10\)). Hárman válaszoltak igennel arra a kérdésre, páros-e a számuk, így:
\(\displaystyle 5-x_2-x_4-x_6-x_8-x_{10}+x_1+x_3+x_5+x_7+x_9=3.\)
(A páros számot kapó 5 embernek kellene ,,igen'' választ adnia, azonban közülük a hazudósak ,,nem'' választ adnak, a páratlan számot kapók közül pedig éppen a hazudósak adnak majd ,,igen'' választ.)
Ehhez hasonlóan a második és a harmadik kérdésre adott válaszok alapján pedig a következőket kapjuk:
\(\displaystyle 2-x_4-x_8+x_1+x_2+x_3+x_5+x_6+x_7+x_9+x_{10}=6,\)
\(\displaystyle 2-x_5-x_{10}+x_1+x_2+x_3+x_4+x_6+x_7+x_8+x_9=2.\)
A három egyenletet rendezve (úgy, hogy minden pozitív előjellel szerepeljen):
| \(\displaystyle x_1+x_3+x_5+x_7+x_9+2=x_2+x_4+x_6+x_8+x_{10}, \) | \(\displaystyle {(1)}\) |
| \(\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_5+x_6+x_7+x_9+x_{10}=x_4+x_8+4, \) | \(\displaystyle {(2)}\) |
| \(\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_4+x_6+x_7+x_8+x_9=x_5+x_{10}. \) | \(\displaystyle {(3)}\) |
A \(\displaystyle (2)\) egyenlet alapján a tíz ember között legalább négy hazudósnak kell lennie, ugyanakkor \(\displaystyle (3)\) szerint az 5-ös és 10-es számot kapok között ugyanannyi hazudós van, mint a többiek között. Ez csak úgy teljesülhet, ha a hazudósok száma pontosan négy. Ekkor \(\displaystyle (2)\) alapján \(\displaystyle x_4=x_8=0\), valamint \(\displaystyle (3)\) alapján \(\displaystyle x_5=x_{10}=1\).
Ahhoz, hogy \(\displaystyle (1)\) teljesüljön, a négy darab 1-es közül egynek kell a bal oldalon lennie, és háromnak a jobb oldalon. Mivel \(\displaystyle x_5=1\), ezért \(\displaystyle x_1=x_3=x_7=x_9=0\) kell legyen. Mivel \(\displaystyle x_4=x_8=0\), ezért \(\displaystyle x_{10}=1\) mellett a jobb oldalon lévő két másik 1-es: \(\displaystyle x_2=x_6=1\).
Tehát \(\displaystyle x_2=x_5=x_6=x_{10}=1\) és \(\displaystyle x_1=x_3=x_4=x_7=x_8=x_9=0\), vagyis a \(\displaystyle 2,5,6,10\) számok vannak hazudósaknál. Ekkor valóban mindhárom feltétel teljesül.
Statistics:
140 students sent a solution. 4 points: 115 students. 3 points: 13 students. 2 points: 9 students. 1 point: 2 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2020