Problem B. 5073. (January 2020)
B. 5073. The tangents drawn to the incircle of triangle \(\displaystyle ABC\), parallel to the sides, cut off three small triangles at the corners. The radii of the incircles of the small triangles are 2, 3 and 10 units long. Show that triangle \(\displaystyle ABC\) is right-angled.
Proposed by S. Róka, Nyíregyháza
(4 pont)
Deadline expired on February 10, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyenek a csúcsok \(\displaystyle A,B,C\), a beírt kör érintési pontjai \(\displaystyle A_1,B_1,C_1\), a nagy és a kis háromszögek félkerületei \(\displaystyle s,s_a,s_b,s_c\). A kis háromszögekbe írt körök sugarai rendre \(\displaystyle r_a, r_b, r_c\). A beírt kör a kis háromszögekben hozzáírt kör. Egy háromszög hozzáírt köre esetében azok az érintőszakaszok, amelyek a belső szögfelezőhöz tartozó csúcsból indulnak a háromszög félkerületével egyenlők, ezért \(\displaystyle AB_1=AC_1=s_a=s-a\), \(\displaystyle BA_1=BC_1=s_b=s-b\), \(\displaystyle CA_1=CB_1=s_c=s-c\).
A kis háromszögek mind hasonlóak az eredeti háromszöghöz, így egymáshoz is. Emiatt
\(\displaystyle 2:3:10 = r_a:r_b:r_c = s_a:s_b:s_c = (s-a):(s-b):(s-c). \)
Az érintőszakaszok páronkénti összegeiből a háromszög oldalait kapjuk, így
$$\begin{align*} a:b:c &= \big((s-b)+(s-c)\big):\big((s-c)+(s-a)\big):\big((s-a)+(s-b)\big) = \\ &= (r_b+r_c):(r_c+r_a):(r_a+r_b) = (3+10):(10+2):(2+3) = \\ &= 13:12:5. \end{align*}$$Innen a Pitagorász-tétel megfordítása alapján látható, hogy a háromszög valóban derékszögű.
Statistics:
58 students sent a solution. 4 points: 51 students. 3 points: 2 students. 2 points: 1 student. 1 point: 3 students. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2020