Problem B. 5077. (January 2020)

B. 5077. We want to draw a perspective image of a cube, using two vanishing points: \(\displaystyle I_1=(-9;0)\) and \(\displaystyle I_2=(10;0)\), as shown in the figure. The images of three vertices are \(\displaystyle A=(-3;0)\), \(\displaystyle B=(0;0)\) és \(\displaystyle C=(4;0)\). What should the \(\displaystyle y\)-coordinate of point \(\displaystyle F\) be?

(6 pont)

Deadline expired on February 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle N\) a nézőpont, ahonnan a kockát a kép síkjára vetítjük.

Az \(\displaystyle N\) pontból a kockát tetszőleges arányban nagyíthatjuk úgy, hogy közben a kép (az ablakra eső vetület) nem változik. Ezért feltételezhetjük, hogy a kocka \(\displaystyle B\) csúcsa a kép síkjában van. A két iránypontos perspektíva azt jelenti, hogy a kép síkja függőleges, így az \(\displaystyle F\) csúcs is a kép síkjában van.

Az \(\displaystyle A,C\) pontok térbeli megfelelője legyen \(\displaystyle A_1\), illetve \(\displaystyle C_1\). Az \(\displaystyle ABCN\) sík tartalmazza az \(\displaystyle NAA_1\) és \(\displaystyle NCC_1\) egyeneseket, tehát az \(\displaystyle N\) pont az \(\displaystyle A_1BC_1\) síkban, a kocka alaplapjának síkjában van. A két vízszintes fő irány az \(\displaystyle NI_1\) és az \(\displaystyle NI_2\), ezek párhuzamosak a kocka \(\displaystyle BA_1\), illetve \(\displaystyle BC_1\) élével.

Legyen a kocka élének hossza \(\displaystyle d=BA_1=BC_1=BF\). A megadott adatok szerint \(\displaystyle AI_1=6\), \(\displaystyle AB=3\), \(\displaystyle BC=4\), \(\displaystyle CI_2=6\). A párhuzamos szelők tételéből \(\displaystyle \frac{I_1N}{BA_1} = \frac{AI_1}{AB} = 2\), ezért \(\displaystyle I_1N = 2\cdot BA_1 = 2d\). Hasonlóan, \(\displaystyle \frac{I_2N}{BC_1} = \frac{CI_2}{BC} = \frac32\), ezért \(\displaystyle I_2N = \tfrac32\cdot BC_1 = \tfrac32d\).

Az \(\displaystyle I_1I_2N\) háromszög derékszögű, mert az \(\displaystyle I_1N\) és az \(\displaystyle I_2N\) oldala párhuzamos a kocka \(\displaystyle BA_1\), illetve \(\displaystyle BC_1\) éleivel. A Pitagorasz-tételt felírva

\(\displaystyle 19^2 = {I_1I_2}^2 = {I_1N}^2 + {I_2N}^2 = (2d)^2+(\tfrac32d)^2 = (\tfrac52d)^2; \)

ebből azt kapjuk, hogy \(\displaystyle 19=\tfrac52d\), vagyis \(\displaystyle d=\frac{38}{5}=7.6\).

A \(\displaystyle BF\) él függőleges, a hossza \(\displaystyle d=7,6\), tehát az \(\displaystyle F\) pont képe a rajzon a \(\displaystyle (0,7.6)\) pont.

Megjegyzés. A térbeli koordináta-rendszerben az \(\displaystyle N\), \(\displaystyle A_1\) és \(\displaystyle C_1\) pontok koordinátái: \(\displaystyle N=(3.16;0;9.12)\), \(\displaystyle A_1=(-6.08;0;-4.56)\), \(\displaystyle C_1=(4.56;0;-6.08)\).

Statistics:

16 students sent a solution.
6 points:	Andó Viola, Baski Bence, Beke Csongor, Nádor Benedek, Németh Márton, Nguyen Bich Diep.
5 points:	Hervay Bence, Lengyel Ádám.
3 points:	1 student.
2 points:	2 students.
1 point:	1 student.
0 point:	4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2020