A B. 5136. feladat (2020. december)

B. 5136. A kishitűek és nagyotmondók szigetén minden ember vagy kishitű vagy nagyotmondó. Egyszer egy külföldi tévedt a szigetre, és egy társaság meghívta vacsorázni. A vacsora végén megkérdezte a társaság mindegyik tagjától, hogy hány nagyotmondó van a társaságban. A kishitűek az igazságnál kisebb, a nagyotmondók pedig nagyobb számot válaszoltak. Igaz-e, hogy a kapott válaszok ismeretében egyértelműen meghatározható a nagyotmondók száma?

Dürer Verseny egy feladata alapján

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Megmutatjuk, hogy igen, a válaszok ismeretében egyértelműen meghatározható a nagyotmondók száma.

Ehhez azt kell igazolnunk, hogy nem létezhet válaszok olyan sorozata, mely $\displaystyle k$ és $\displaystyle \ell$ nagyotmondó esetén is előfordulhat valamely $\displaystyle k<\ell$ mellett. Ha a nagyotmondók száma $\displaystyle \ell$, akkor ők a feltétel alapján $\displaystyle \ell$-nél nagyobb számot mondanak, vagyis

Ha viszont a nagyotmondók száma $\displaystyle k$, akkor $\displaystyle k$ kivétellel mindenki (nevezetesen a kishitűek) $\displaystyle k$-nál kisebb számot mondanak. Így $\displaystyle k$-nál nagyobb számot csak $\displaystyle k$ ember mondhat, vagyis

Mivel $\displaystyle k<\ell$, ezért olyan válaszsorozat, amelyre $\displaystyle (*)$ és $\displaystyle (**)$ is teljesül, nem létezik. Ez azt jelenti, hogy a válaszokból mindig meghatározható a nagyotmondók száma.

(Nevezetesen, a nagyotmondók száma az a $\displaystyle k$ érték, amelyre igaz, hogy $\displaystyle k$-nál nagyobb válaszból pontosan $\displaystyle k$ darab volt.)

Statisztika:

139 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	82 versenyző.
4 pontot kapott:	33 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. decemberi matematika feladatai