 |
A B. 5136. feladat (2020. december) |
B. 5136. A kishitűek és nagyotmondók szigetén minden ember vagy kishitű vagy nagyotmondó. Egyszer egy külföldi tévedt a szigetre, és egy társaság meghívta vacsorázni. A vacsora végén megkérdezte a társaság mindegyik tagjától, hogy hány nagyotmondó van a társaságban. A kishitűek az igazságnál kisebb, a nagyotmondók pedig nagyobb számot válaszoltak. Igaz-e, hogy a kapott válaszok ismeretében egyértelműen meghatározható a nagyotmondók száma?
Dürer Verseny egy feladata alapján
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. január 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Megmutatjuk, hogy igen, a válaszok ismeretében egyértelműen meghatározható a nagyotmondók száma.
Ehhez azt kell igazolnunk, hogy nem létezhet válaszok olyan sorozata, mely \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle \ell\) nagyotmondó esetén is előfordulhat valamely \(\displaystyle k<\ell\) mellett. Ha a nagyotmondók száma \(\displaystyle \ell\), akkor ők a feltétel alapján \(\displaystyle \ell\)-nél nagyobb számot mondanak, vagyis
| \(\displaystyle \text{a mondott számok között lesz legalább \(\displaystyle \ell\) darab \(\displaystyle \ell\)-nél nagyobb.} \) | \(\displaystyle {(*)}\) |
Ha viszont a nagyotmondók száma \(\displaystyle k\), akkor \(\displaystyle k\) kivétellel mindenki (nevezetesen a kishitűek) \(\displaystyle k\)-nál kisebb számot mondanak. Így \(\displaystyle k\)-nál nagyobb számot csak \(\displaystyle k\) ember mondhat, vagyis
| \(\displaystyle \text{a válaszok között \(\displaystyle \ell\)-nél nagyobb értékből is csak legfeljebb \(\displaystyle k\) lehet.} \) | \(\displaystyle {(**)}\) |
Mivel \(\displaystyle k<\ell\), ezért olyan válaszsorozat, amelyre \(\displaystyle (*)\) és \(\displaystyle (**)\) is teljesül, nem létezik. Ez azt jelenti, hogy a válaszokból mindig meghatározható a nagyotmondók száma.
(Nevezetesen, a nagyotmondók száma az a \(\displaystyle k\) érték, amelyre igaz, hogy \(\displaystyle k\)-nál nagyobb válaszból pontosan \(\displaystyle k\) darab volt.)
Statisztika:
139 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 82 versenyző. 4 pontot kapott: 33 versenyző. 3 pontot kapott: 6 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 8 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2020. decemberi matematika feladatai