A B. 5169. feladat (2021. április)

B. 5169. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán:

$\displaystyle \sqrt[3]{2x+11}+\sqrt[3]{3x+4}=\sqrt[3]{x+9}+\sqrt[3]{4x+6}.$

Javasolta: Szalai Máté (Szeged)

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyenlet minden valós $\displaystyle x$-re értelmes.

Legyen

$\displaystyle a:=\root 3\of {2x+11},\quad b:=\root 3\of {3x+4}, \quad c:=\root 3\of {x+9},\quad d:=\root 3\of {4x+6}.$

A feltétel alapján

ugyanakkor könnyen észrevehető, hogy

is teljesül.

Először vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor

$\displaystyle a+b=c+d=0.$

Ekkor $\displaystyle b=-a$, és így $\displaystyle b^3=-a^3$, azaz $\displaystyle 3x+4=-(2x+11)$, amiből $\displaystyle x=-3$. Az eredeti egyenletbe behelyettesítve:

$\displaystyle \root 3\of 5+\root 3\of {-5}=\root 3\of 6+\root 3\of {-6},$

ami valóban teljesül, mindkét oldal értéke 0.

Most tegyük fel, hogy $\displaystyle a+b=c+d\ne 0$. Ekkor $\displaystyle (*)$ és $\displaystyle (**)$ egyenleteket elosztva egymással kapjuk, hogy

$\displaystyle a^2-ab+b^2=\frac{a^3+b^3}{a+b}=\frac{c^3+d^3}{c+d}=c^2-cd+d^2.$

Ekkor viszont

$\displaystyle (a+b)^2-3ab=a^2-ab+b^2=c^2-cd+d^2=(c+d)^2-3cd$

és

$\displaystyle a+b=c+d$

alapján $\displaystyle ab = cd$.

Tehát $\displaystyle a,b$, illetve $\displaystyle c,d$ egyaránt a $\displaystyle z^2-(a+b)z+ab=z^2-(c+d)z+cd$ polinom két gyöke, ezért $\displaystyle a=c$ és $\displaystyle b=d$ vagy $\displaystyle a=d$ és $\displaystyle b=c$.

Az előbbi esetben $\displaystyle a^3=c^3$, vagyis $\displaystyle 2x+11=x+9$, amiből $\displaystyle x=-2$. Ez valóban megoldást ad, hiszen

$\displaystyle \root 3\of 7+\root 3\of {-2}=\root 3\of 7+\root 3\of {-2}.$

Az utóbbi esetben $\displaystyle a^3=d^3$, vagyis $\displaystyle 2x+11=4x+6$, amiből $\displaystyle x=5/2$.

Ez is megoldást ad, hiszen

$\displaystyle \root 3\of {16}+\root 3\of {23/2}=\root 3\of {23/2}+\root 3\of {16}.$

Tehát az egyenletnek három megoldása van: $\displaystyle x=-3$, $\displaystyle x=-2$ és $\displaystyle x=5/2$.

Megjegyzés. Az $\displaystyle ab=cd$ lehetőség az $\displaystyle \sqrt[3]{(2x+11)(3x+4)}=\sqrt[3]{(x+9)(4x+6)}$ egyenlethez vezet, melyből $\displaystyle 6x^2+41x+44=4x^2+42x+54$, végül $\displaystyle 2x^2-x-10=0$, melynek gyökei $\displaystyle x=-2$ és $\displaystyle x=\frac52$.

Statisztika:

80 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	57 versenyző.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2021. áprilisi matematika feladatai