 |
A B. 5194. feladat (2021. október) |
B. 5194. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle ABC\sphericalangle=2CAB\sphericalangle\). Az \(\displaystyle AB\) oldal a beírt kört az \(\displaystyle E\) pontban érinti, a \(\displaystyle C\)-ből induló szögfelezőt az \(\displaystyle F\) pontban metszi. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle AF=2BE\).
(4 pont)
A beküldési határidő 2021. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyenek az \(\displaystyle ABC\) háromszög szögei a szokásos módon \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\) és \(\displaystyle \gamma\); a feltétel szerint \(\displaystyle \beta=2\alpha\). Legyen az \(\displaystyle AB\) oldalhoz hozzáírt kör középontja \(\displaystyle J\), és a hozzáírt kör érintési pontja az \(\displaystyle AB\) oldalon \(\displaystyle E_1\). Jól ismert, hogy \(\displaystyle AE_1=BE=s-b\), ahol \(\displaystyle b=AC\) és \(\displaystyle s\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög félkerülete.
Az \(\displaystyle A\)-nál levő szögek összeszámolásából
\(\displaystyle JAF\angle = \dfrac{180^\circ-BAC\angle}{2} = 90^\circ-\dfrac\alpha2, \)
az \(\displaystyle AFC\) háromszög szögeiből
\(\displaystyle AFJ\angle = FAC\angle+ACF\angle = \alpha+\dfrac\gamma2 = \dfrac\beta2+\bigg(90^\circ-\dfrac\alpha2-\dfrac\beta2\bigg) = 90^\circ-\dfrac\alpha2 = JAF\angle. \)
Tehát \(\displaystyle AFJ\angle=JFA\); a \(\displaystyle JFA\) háromszög egyenlő szárú, ezért
\(\displaystyle AF = 2AE_1 = 2BE. \)
Statisztika:
80 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 65 versenyző. 3 pontot kapott: 7 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2021. októberi matematika feladatai