A B. 5195. feladat (2021. október)

B. 5195. Mutassuk meg, hogy minden \(\displaystyle (x;y)\) pozitív valós számokból álló számpár és minden \(\displaystyle 0<p<1\) valós szám esetén fennáll az \(\displaystyle x^{p}\cdot y^{1-p}<x+y\) egyenlőtlenség.

(3 pont)

A beküldési határidő 2021. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A hatványfüggvény szigorú monotonitását használva \(\displaystyle x,y>0\) alapján kapjuk, hogy

\(\displaystyle x^{p}\cdot y^{1-p}<(x+y)^p\cdot (x+y)^{1-p}=x+y,\)

így a feladat állítása valóban teljesül.

Statisztika:

127 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	96 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2021. októberi matematika feladatai