Problem B. 5197. (October 2021)
B. 5197. Let \(\displaystyle \mathbb{N}\) denote the set of non-negative integers, and let \(\displaystyle k\) be a given positive integer. Is there a monotonically increasing function \(\displaystyle f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) such that
\(\displaystyle f\big(f(x)\big) = f(x) + x + k \)
for all \(\displaystyle x \in \mathbb{N}\)?
(6 pont)
Deadline expired on November 10, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Mutatunk egy, a feltételnek megfelelő függvényt; ehhez felhasználjuk a B. 3429. feladat ötleteit.
A \(\displaystyle f(x)\) függvényt egy valós értékű lineáris függvény egész értékekre kerekítésével fogjuk megkonstruálni.
Legyen \(\displaystyle q=\dfrac{1+\sqrt5}2\approx1,618\) a \(\displaystyle q^2=q+1\) egyenlet pozitív megoldása, továbbá legyen \(\displaystyle d=\dfrac{k}{q}\). Bármely pozitív egész \(\displaystyle x\) esetén legyen \(\displaystyle f(x)\) az az egész szám, amely a \(\displaystyle \big[qx+d-\tfrac12,qx+d+\tfrac12\big)\) intervallumba esik.
Mivel \(\displaystyle qx+d-\tfrac12>q+0-\tfrac12>0\), az \(\displaystyle f(x)\) érték pozitív egész, tehát \(\displaystyle f\) valóban egy \(\displaystyle \mathbb{N}\to\mathbb{N}\) függvény (és mivel \(\displaystyle q > 1\), szigorúan monoton növő).
Az \(\displaystyle f(x)\) definíciója szerint
| \(\displaystyle -\tfrac12 \le f(x)-qx-d < \tfrac12. \) | \(\displaystyle (1) \) |
Ugyanezt \(\displaystyle x\) helyett \(\displaystyle f(x)\)-szel felírva,
| \(\displaystyle -\tfrac12 \le f(f(x))-qf(x)-d < \tfrac12. \) | \(\displaystyle (2) \) |
Adjuk össze (2)-t és (1) \(\displaystyle (q-1)\)-szeresét:
$$\begin{gather*} -\tfrac12-\tfrac12(q-1) \le \big(f(f(x))-qf(x)-d\big)+(q-1)\big(f(x)-qx-d\big) <\tfrac12+\tfrac12(q-1), \\ -\tfrac{q}{2} \le f(f(x))-f(x)-(q^2-q)x-qd <\tfrac{q}{2}, \\ -\tfrac{q}{2} \le f(f(x))-f(x)-x-k <\tfrac{q}{2}. \end{gather*}$$Az \(\displaystyle f(f(x))-f(x)-x-k\) egy egész szám, és mint láttuk, \(\displaystyle -\tfrac{q}{2}\approx-0,809\) és \(\displaystyle \tfrac{q}{2}\approx0,809\) közé esik. Ez az egész szám csak a \(\displaystyle 0\) lehet, tehát \(\displaystyle f(f(x))-f(x)-x-k=0\), vagyis
\(\displaystyle f(f(x)) = f(x)+x+k. \)
Statistics:
39 students sent a solution. 6 points: Bencsik Dávid, Bényei Borisz, Berkó Sebestyén , Bognár 171 András Károly, Kalocsai Zoltán, Kercsó-Molnár Anita, Lovas Márton, Mohay Lili Veronika, Nádor Benedek, Németh Márton, Romaniuc Albert-Iulian, Sebestyén József Tas, Sztranyák Gabriella, Varga Boldizsár, Zömbik Barnabás. 5 points: Seláf Bence, Török Ágoston. 4 points: 3 students. 3 points: 6 students. 2 points: 1 student. 0 point: 11 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2021