Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5212. feladat (2021. december)

B. 5212. Igazoljuk, hogy létezik olyan pozitív egész szám, amely legalább 2021-féleképpen állítható elő úgy, hogy egy (tízes számrendszerben felírt) pozitív egész számhoz hozzáadjuk a számjegyeinek összegét.

Javasolta: Sándor Csaba (Budapest)

(6 pont)

A beküldési határidő 2022. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Az \(\displaystyle n\) számra vonatkozó teljes indukcióval bizonyítjuk, hogy van olyan pozitív egész szám, ami legalább \(\displaystyle n\)-féleképpen áll elő egy pozitív egész szám és annak számjegyeinek összegeként. A \(\displaystyle k\) szám számjegyeinek összegét jelölje \(\displaystyle S(k)\).

Az \(\displaystyle n=1\) eset triviális, \(\displaystyle n=2\)-re a 101 megfelelő, hiszen \(\displaystyle k=91\) és \(\displaystyle k=100\) esetén egyaránt \(\displaystyle k+S(k)=101\).

Az indukciós lépést először \(\displaystyle 2\to 3\)-ra mutatjuk meg (ugyanez a módszer működni fog nagyobb \(\displaystyle n\)-re is). Mivel

\(\displaystyle 91+S(91)=100+S(100)=101,\)

ezért világos, hogy az

\(\displaystyle a:=\overline{1\underbrace{00\dots0}_{t}100}\)

és

\(\displaystyle b:=\overline{1\underbrace{00\dots0}_{t}091}\)

számokra

\(\displaystyle a+S(a)=b+S(b)=\overline{1\underbrace{00\dots0}_{t}102},\)

bárhogyan is választjuk meg \(\displaystyle t\) értékét. Keressünk egy

\(\displaystyle c:=\overline{\underbrace{99\dots9}_{t}99r}\)

alakú számot (itt \(\displaystyle r\) a \(\displaystyle c\) szám utolsó jegyét jelöli), melyre szintén

\(\displaystyle c+S(c)=\overline{1\underbrace{00\dots0}_{t}102}.\)

Ahhoz, hogy ez teljesüljön az kell, hogy \(\displaystyle 9(t+2)+r=(10-r)+102\), vagyis

\(\displaystyle 9(t+2)=112-2r\)

legyen. Az \(\displaystyle r\) számjegyet úgy kell megválasztani, hogy \(\displaystyle 9\mid 112-2r\) teljesüljön, \(\displaystyle r=2\) a megfelelő választás. Ekkor \(\displaystyle 9(t+2)=108\)-ból \(\displaystyle t=10\). Tehát a \(\displaystyle \overline{1\underbrace{00\dots0}_{10}102}=10\,000\,000\,000\,102\) szám háromféleképpen is előáll:

\(\displaystyle a=10\,000\,000\,000\,100,\)

\(\displaystyle b=10\,000\,000\,000\,091,\)

\(\displaystyle c=9\,999\,999\,999\,992\)

mellett

\(\displaystyle a+S(a)=b+S(b)=c+S(c)=10\,000\,000\,000\,102.\)

Most az általános indukciós lépést igazoljuk. Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle a_1,a_2,\dots,a_n\) különböző számokra

\(\displaystyle s=a_1+S(a_1)=a_2+S(a_2)=\dots=a_n+S(a_n).\)

Az \(\displaystyle s\) szám jegyeinek száma legyen \(\displaystyle N\). Világos, hogy ha \(\displaystyle M>N\), akkor az \(\displaystyle a_i'=10^M+a_i\) számra

\(\displaystyle a_i'+S(a_i')=10^M+a_i+S(a_i)+1=10^M+s+1=:s'.\)

Az \(\displaystyle s'\) számnak tehát van \(\displaystyle n\) különböző előállítása \(\displaystyle a_i'+S(a_i')\) alakban, az összes \(\displaystyle a_i'\) szám 1-essel kezdődik. Megfelelő \(\displaystyle M\) mellett \(\displaystyle c=10^M-(10-r)\) alakban keresünk olyan számot, melyre szintén \(\displaystyle c+S(c)=s'\), ez egy \(\displaystyle (n+1)\)-edik előállítást szolgáltat majd, hiszen a \(\displaystyle c\) szám 9-essel kezdődik. Itt \(\displaystyle 1\leq r\leq 9\), és \(\displaystyle c\) az a szám, melynek utolsó jegye \(\displaystyle r\), a többi \(\displaystyle M-1\) jegye pedig 9-es, azaz \(\displaystyle S(c)=9(M-1)+r\). Tehát az

\(\displaystyle s'=10^M-(10-r)+9(M-1)+r\)

feltételnek kell teljesülnie, ami ekvivalens az

\(\displaystyle s=9(M-2)+2r-2\)

feltétellel. Válasszuk meg \(\displaystyle 1\leq r\leq 9\) értékét úgy, hogy \(\displaystyle 9\mid s-2r+2\) legyen, és legyen

\(\displaystyle M:=\frac{s-2r+2}{9}+2.\)

Mivel a \(\displaystyle 2,4,6,8,10,12,14,16,18\) számok 9-es maradéka páronként különböző, ezért \(\displaystyle r\)-re pontosan egy megfelelő választás van.

Ezzel az indukciós lépést igazoltuk.

Ebből tehát következik, hogy olyan szám is van, melynek legalább 2021-féle előállítása is van.

Megjegyzés. Az indukciós lépés valójában \(\displaystyle n=1\)-ről \(\displaystyle n=2\)-re is működik. \(\displaystyle a_1=1\) mellett \(\displaystyle s=a_1+S(a_1)=2\), vagyis \(\displaystyle N=1\). Ekkor \(\displaystyle 1<M\)-re \(\displaystyle s'=10^M+1+S(10^M+1)=10^M+3\), és \(\displaystyle c\)-t \(\displaystyle c=10^M-(10-r)\) alakban keressük. \(\displaystyle 9\mid s-2r+2=4-2r\) akkor teljesül, ha \(\displaystyle r=2\). Ekkor \(\displaystyle M=\frac{s-2r+2}{9}+2=2\), vagyis \(\displaystyle c=100-8=92\). Ekkor \(\displaystyle 101+S(101)=92+S(92)=103\).


Statisztika:

A B. 5212. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. decemberi matematika feladatai