Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5213. feladat (2021. december)

B. 5213. Igazoljuk, hogy ha \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) pozitív valós számok, akkor

\(\displaystyle c\sqrt{a^2+b^2-ab}+a\sqrt{b^2+c^2-bc}\ge b\sqrt{c^2+a^2+ca}\,. \)

Milyen esetben teljesül az egyenlőség?

Javasolta: Schultz János (Szeged)

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. január 10-én LEJÁRT.


1. megoldás. Vegyük fel a közös kezdőpontú \(\displaystyle OA, OB, OC\) szakaszokat oly módon, hogy \(\displaystyle AOB\sphericalangle=BOC\sphericalangle=60^\circ\), továbbá a szakaszok hossza rendre \(\displaystyle OA=a, OB=b\) és \(\displaystyle OC=c\), az ábra szerint.

Koszinusztétellel azonnal adódik, hogy

\(\displaystyle AB=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\,60^\circ}=\sqrt{a^2+b^2-ab},\)

és szintén a koszinusztétellel

\(\displaystyle BC=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos\,60^\circ}=\sqrt{b^2+c^2-bc},\)

\(\displaystyle AC=\sqrt{a^2+c^2-2ab\cos\,120^\circ}=\sqrt{a^2+c^2+ac}.\)

Tetszőleges síknégyszögre ismert az ún. Ptolemaiosz-egyenlőtlenség, amely szerint ha egy négyszög oldalainak hossza rendre \(\displaystyle u, v, w, z\), az átlóinak hossza pedig \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\), akkor teljesül, hogy

\(\displaystyle e\cdot f \leq u\cdot w + v\cdot z.\)

Egyenlőség akkor és a csak akkor áll fenn, ha a négy pont meghatározott sorrendben egy körön – esetünkben biztosan ez a helyzet – vagy egy egyenesen helyezkedik el.

Erre vonatkozóan ld. pl. Besenyei Ádámnak a KöMaL 2017. évi januári számában megjelent cikkét: Séta a havon – az ezerarcú feladat 3. (http://db.komal.hu/KomalHU/cikk.phtml?id=201895.) A cikkben az egyenlőtlenséget a szerző csak konvex négyszögekre mondja ki, de a bizonyításban látható, hogy a konvexitásnak valójában nincs szerepe, a bizonyítás konkáv négyszögekre is alkalmazható.

Konkrét adatainkkal felírva, ez éppen a bizonyítandó állítást adja:

\(\displaystyle OB \cdot AC \leq OA\cdot BC + OC\cdot AB,\)

\(\displaystyle c\sqrt{a^2+b^2-ab}+a\sqrt{b^2+c^2-bc}\geq b\sqrt{c^2+a^2+ca}.\)

Az állítást igazoltuk.

Vizsgáljuk meg az egyenlőség teljesülésének feltételét is. A feltételek alapján a pontok egy négyszög csúcsai, tehát egy körön kell lenniük, az \(\displaystyle OABC\) négyszög húrnégyszög. Ennek a húrnégyszögnek az \(\displaystyle AOC\sphericalangle=120^\circ\) szöggel szemközti szöge \(\displaystyle 60^\circ\)-os. Azt is tudjuk, hogy a körülírt körben \(\displaystyle AOB\sphericalangle\), \(\displaystyle BOC\sphericalangle\) egyforma nagyságú kerületi szögek, így a hozzájuk tartozó húrok is egyenlők egymással. Ennek megfelelően \(\displaystyle ABC\) olyan egyenlő szárú háromszög, amelynek szárszöge \(\displaystyle 60^\circ\), vagyis szabályos háromszög. Ebből

\(\displaystyle \sqrt{a^2+b^2-ab}=\sqrt{a^2+c^2+ac},\)

\(\displaystyle b^2-c^2-ab-ac=0,\)

\(\displaystyle (b+c)(b-c-a)=0.\)

Mivel \(\displaystyle a,b,c>0\) ez akkor és csak akkor teljesül, ha \(\displaystyle b=a+c\).

Ugyanezzel a feltétellel ekvivalens a \(\displaystyle \sqrt{b^2+c^2-bc}=\sqrt{a^2+c^2+ac}\) egyenlőség is. Ha tehát \(\displaystyle b=a+c\), akkor valóban mindhárom gyökös kifejezés egyenlő, és így a bizonyítandó egyenlőtlenség is egyenlőséggel teljesül.

Megjegyzés. Ez utóbbi egy viszonylag közismert eredménnyel egyező: ha egy szabályos háromszög körülírt körének tetszőleges pontját összekötjük a csúcsokkal, akkor a keletkező két kisebb szakasz hosszának összege a harmadik szakasz hosszával egyenlő.

2. megoldás. Tisztán algebrai átalakításokkal is bizonyítható az egyenlőtlenség (a \(\displaystyle (b^2-bc+c^2)(b^2-ab+a^2)\) szorzatot jelöljük \(\displaystyle Q\)-val).

$$\begin{gather*} a\sqrt{b^2-bc+c^2}+c\sqrt{b^2-ab+a^2}\ge b\sqrt{a^2+c^2+ac},\\* (a^2+c^2)b^2-ac(a+c)b+2a^2c^2+2ac\sqrt{Q}\ge (a^2+c^2+ac)b^2,\\ 2ac\sqrt{Q}\ge ac(b^2+(a+c)b-2ac),\\ 4Q\ge (b^2+(a+c)b-2ac)^2,\\ 4(b^4-(a+c)b^3+(a^2+c^2+ac)b^2-ac(a+c)b+a^2c^2)\ge b^4+2(a+c)b^3+((a+c)^2-4ac)b^2-4ac(a+c)b+4a^2c^2,\\ 3b^4-6(a+c)b^3+(3a^2+3c^2+6ac)b^2\ge 0,\\ 3b^2(b^2-2(a+c)b+(a+c)^2))\ge 0,\\ 3b^2(b-(a+c))^2\ge 0. \end{gather*}$$

Könnyen kiolvasható, hogy az egyenlőség feltétele \(\displaystyle a+c=b\).


Statisztika:

A B. 5213. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. decemberi matematika feladatai