 |
A B. 5217. feladat (2022. január) |
B. 5217. Egy háromszög súlyvonalainak \(\displaystyle \frac{2}{\sqrt3}\)-szorosából mint oldalakból újabb háromszöget szerkesztünk. Az eljárást megismételjük a kapott háromszögre. Mutassuk meg, hogy a második lépésben az eredetivel egybevágó háromszöget kapunk.
Javasolta: Bártfai Pál (Budapest)
(4 pont)
A beküldési határidő 2022. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen \(\displaystyle ABC\) az adott háromszög, továbbá \(\displaystyle AB, BC, CA\) oldalainak felezőpontjai rendre a \(\displaystyle D, E\) és \(\displaystyle F\) pontok. Tükrözzük a háromszöget a \(\displaystyle BC\) oldal \(\displaystyle E\) felezőpontjára. Az \(\displaystyle A\) csúcs tükörképe \(\displaystyle A'\), az \(\displaystyle F\) felezőpont tükörképe az \(\displaystyle F'\) pont az ábra szerint.
Megmutatjuk, hogy a \(\displaystyle DCF'\) háromszög oldalai az \(\displaystyle ABC\) háromszög súlyvonalaival egyező hosszúságúak. A \(\displaystyle DC\) szakasz az eredeti háromszögben az \(\displaystyle AB\) oldalhoz tartozó súlyvonal. A \(\displaystyle CF'\) szakasz az eredeti háromszög \(\displaystyle AF\) súlyvonalának tükörképe. Tekintsük most a \(\displaystyle DF'\) szakaszt. A \(\displaystyle BDEF'\) négyszög paralelogramma, mert a \(\displaystyle DE\) szakasz az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle CA\) oldalhoz tartozó középvonala, míg a \(\displaystyle BF'\) szakasz a középpontosan tükrözött \(\displaystyle CA\) szakasz fele. Ennek megfelelően a \(\displaystyle BDEF'\) négyszög két szemközti oldala párhuzamos és egyenlő, így valóban paralelogrammáról van szó. Legyen átlóinak metszéspontja a \(\displaystyle G\) pont. Most tekintsük a \(\displaystyle DAEF'\) négyszöget. Az előzőekben beláttuk, hogy \(\displaystyle BD\#EF'\), így lévén \(\displaystyle D\) az \(\displaystyle AB\) oldal felezőpontja \(\displaystyle DA\#EF'\), vagyis a \(\displaystyle DAEF'\) négyszög is paralelogramma, a \(\displaystyle DF'\) szakasz a háromszög harmadik súlyvonalával párhuzamos és egyenlő.
A bizonyítás befejezéséhez most vizsgáljuk a \(\displaystyle DCF'\), súlyvonalakból szerkesztett háromszög \(\displaystyle DF'\) oldalához tartozó súlyvonalát, a \(\displaystyle CG\) szakaszt. Mivel a \(\displaystyle G\) pont felezi a \(\displaystyle BE\) szakaszt, ezért a \(\displaystyle CG\) szakasz a \(\displaystyle BC\) oldal háromnegyede.
A \(\displaystyle BC\) oldalnak nem volt kitüntetett szerepe, így azonnal adódik az is, hogy a többi oldal felezőpontjára tükrözve, teljesen egyező módon belátható, hogy a súlyvonalból szerkesztett háromszög másik és harmadik oldalához tartozó súlyvonal is a megfelelő háromszög-oldal háromnegyede. A feladatban szereplő \(\displaystyle \lambda=\frac{2}{\sqrt{3}}\) arányú nagyítások miatt a kétszeri nagyítás után az eredeti oldalak \(\displaystyle \lambda^2\)-szeresét, \(\displaystyle \frac{4}{3}\)-szorosát kapjuk, vagyis az eredeti oldalhosszakat.
Megjegyzés: A súlyvonalakból szerkesztett háromszög súlyvonalainak hosszát két lépésben ki is tudjuk számolni.
Ismert, hogy a paralelogramma-tétel alapján az \(\displaystyle a, b, c\) oldalú háromszög \(\displaystyle a\)-hoz tartozó \(\displaystyle s_a\) súlyvonalára:
\(\displaystyle s_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}.\)
Ugyanígy a másik két súlyvonalra:
\(\displaystyle s_b^2=\frac{2c^2+2a^2-b^2}{4}, \qquad s_c^2=\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}.\)
A súlyvonalak alkotta \(\displaystyle s_a, s_b, s_c\) háromszög \(\displaystyle s'_a\) súlyvonala:
\(\displaystyle s_a^{'2}=\frac{2s_b^2+2s_c^22-s_a^2}{4}= =\frac{2\frac{2c^2+2a_2-b^2}{4}+2\frac{2a^2+2b_2-c^2}{4}-\frac{2b^2+2c_2-a^2}{4}}{4}=\)
\(\displaystyle =\frac{4c^2+4a^2-2b^2+4a^2+4b^2-2c^2-2b^2-2c^2+a^2}{16}=\frac{9}{16}a^2.\)
Tehát \(\displaystyle s'_a=\frac{3}{4}a\). A kétszeri nagyítás után ismét kapjuk, hogy \(\displaystyle \lambda^2 s'_a=a\), továbbá a betűk cseréjével a másik szakaszra: \(\displaystyle \lambda^2 s'_b=b\), \(\displaystyle \lambda^2 s'_c=c\).
Statisztika:
A KöMaL 2022. januári matematika feladatai