 |
A B. 5219. feladat (2022. január) |
B. 5219. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) valós számokra
\(\displaystyle \frac{|a+b+c|}{1+|a+b+c|}\le \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|}+\frac{|c|}{1+|c|}. \)
Mikor áll fenn egyenlőség?
Javasolta: Schultz János (Szeged)
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Tekintsük az \(\displaystyle f(x)=x/(1+x)\) függvényt, értelmezési tartományát szorítsuk meg a nemnegatív valós számokra. Az \(\displaystyle f(x)=1-1/(1+x)\) alak mutatja, hogy \(\displaystyle f\) szigorúan monoton növő. Továbbá tetszőleges \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) nemnegatív valósakra
\(\displaystyle f(x)+f(y)=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\ge \frac{x}{x+y+1}+\frac{y}{x+y+1}=\frac{x+y}{x+y+1}=f(x+y),\)
azaz \(\displaystyle f\) ún. szubadditív függvény, és itt egyenlőség nyilvánvalóan csak \(\displaystyle x=0\) vagy \(\displaystyle y=0\) esetben áll. Világos, hogy a szubadditivitás három tagra is kiterjeszthető:
\(\displaystyle f(x)+f(y)+f(z)\ge f(x+y)+f(z)\ge f(x+y+z),\)
és itt egyenlőség pontosan akkor áll, ha \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle z\) közül legfeljebb egy különbözik a nullától.
A háromszög-egyenlőtlenség miatt tetszőleges \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) valós számokra \(\displaystyle |a+b+c|\le |a|+|b|+|c|\). Így kihasználva a monotonitást és a szubadditivitást
$$\begin{align*} \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|}+\frac{|c|}{1+|c|}=f(|a|)+f(|b|)+f(|c|)\overset{szuba.}{\ge} f(|a|+|b|+|c|)\overset{mon.}{\ge}f(|a+b+c|)=\frac{|a+b+c|}{1+|a+b+c|}. \end{align*}$$Ezzel az egyenlőtlenséget beláttuk. Az \(\displaystyle f(|a|)+f(|b|)+f(|c|)\ge f(|a|+|b|+|c|)\) egyenlőtlenségben pontosan akkor teljesül az egyenlőség, ha az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) közül legalább kettő nulla. Ilyenkor nyilván a bizonyítandó egyenlőtlenségben is egyenlőség áll.
Statisztika:
64 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Baski Bence, Ben Gillott, Bencsik Dávid, Bognár 171 András Károly, Chrobák Gergő, Csonka Illés, Diaconescu Tashi, Duchon Márton, Farkas 512 Izabella, Fazokán Marcell, Fülöp Csilla, Guthy Gábor, Halász Henrik, Horváth 530 Mihály, Jánosik Máté, Kalocsai Zoltán, Koleszár Domonkos, Laskai Botond, Melján Dávid Gergő, Mohay Lili Veronika, Móricz Benjámin, Nagy 551 Levente, Németh Márton, Németh Norbert Marcell, Páhán Anita Dalma, Rareș Polenciuc, Romaniuc Albert-Iulian, Sebestyén József Tas, Simon László Bence, Somogyi Dalma, Szanyi Attila, Tarján Bernát, Tóth 057 Bálint, Varga Boldizsár, Virág Rudolf, Zömbik Barnabás. 4 pontot kapott: 17 versenyző. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2022. januári matematika feladatai