 |
A B. 5230. feladat (2022. március) |
B. 5230. Az \(\displaystyle AB\) átmérőjű félköríven kijelöltük a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokat. Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontból a \(\displaystyle CD\) egyenesre állított merőlegesek talppontját jelölje \(\displaystyle A'\), illetve \(\displaystyle B'\). Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle A'C\) és \(\displaystyle B'D\) szakaszok hossza egyenlő.
Javasolta: Surányi László (Budapest)
(3 pont)
A beküldési határidő 2022. április 11-én LEJÁRT.
1. megoldás. Azt kell belátnunk, hogy az \(\displaystyle A'C=x\) és \(\displaystyle B'D=y\) szakaszok egyforma hosszúságúak.
A \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontok az \(\displaystyle AB\) átmérőjű félkör pontjai, \(\displaystyle ACDB\) húrnégyszög. A \(\displaystyle CD\) húr felezőmerőlegese átmegy a félkör \(\displaystyle O\) középpontján. Ez a felezőmerőleges egyben az \(\displaystyle ABB'A'\) derékszögű trapéz középvonala, tehát felezi az \(\displaystyle A'B'\) szárat is. A \(\displaystyle CD\) és \(\displaystyle A'B'\) szakaszok felezőpontja megegyezik. \(\displaystyle CA'=DB'\).
A bizonyítás ugyanez akkor is, ha a pontok sorrendje a félköríven nem \(\displaystyle A\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle B\), hanem \(\displaystyle A\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle B\).
2. megoldás. A \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontok az \(\displaystyle AB\) átmérőjű félkör pontjai, \(\displaystyle ACDB\) húrnégyszög. A szemközti szögek összege \(\displaystyle 180^{\circ}\), \(\displaystyle CAB\sphericalangle=BDB'\sphericalangle=\alpha\). Az \(\displaystyle ACB\) és \(\displaystyle DB'B\) derékszögú háromszögek egy hegyesszöge ugyanakkora, a két háromszög hasonló. A megfelelő oldalak aránya alapján:
\(\displaystyle \frac{DB'}{DB}=\frac{AC}{AB} \rightarrow y=DB'=\frac{AC\cdot DB}{AB}.\)
Ezzel megegyező indoklással az \(\displaystyle ADB\) és \(\displaystyle AA'C\) derékszögű háromszögek is hasonlók, az oldalak aránya:
\(\displaystyle \frac{CA'}{AC}=\frac{BD}{AB} \rightarrow x=CA'=\frac{AC\cdot DB}{AB}.\)
Ha a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokat megcseréljük, akkor is egyforma hosszú lesz az \(\displaystyle A'C\) és \(\displaystyle B'D\) szakasz, csak hosszabbak, mert a két kis szakasz hosszához hozzá kell adni a \(\displaystyle CD\) szakasz hosszát.
Statisztika:
80 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 73 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2022. márciusi matematika feladatai