Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5240. feladat (2022. április)

B. 5240. Mutassuk meg, hogy minden \(\displaystyle n\) pozitív egész számnak van olyan többszöröse, amelyben a számjegyek összege \(\displaystyle n\).

Javasolta: Sándor Csaba (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2022. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. A skatulya-elv alapján bármely \(\displaystyle (n-1)n+1\) egész szám közül kiválasztható \(\displaystyle n\), melyek \(\displaystyle n\)-nel osztva ugyanazt a maradékot adják. Speciálisan, a \(\displaystyle 10^0,10^1,10^2,\dots,10^{(n-1)n}\) számok közül kiválasztható \(\displaystyle n\), melyek ugyanazt a maradékot adják \(\displaystyle n\)-nel osztva. Ezek összege egyrészt \(\displaystyle n\)-nel osztható, másrészt pontosan \(\displaystyle n\) nemnulla jegye van, ami mind 1-es, vagyis jegyeinek összege \(\displaystyle n\). Ezzel igazoltuk, hogy van az \(\displaystyle n\) számnak olyan többszöröse, melyben a számjegyek összege \(\displaystyle n\).


Statisztika:

A B. 5240. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2022. áprilisi matematika feladatai