 |
A B. 5259. feladat (2022. szeptember) |
B. 5259. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán:
$$\begin{eqnarray*} x^2- 3y + 4 &=& z, \\ y^2 -3z + 4 &=& w,\\ z^2 - 3w +4 &=& x,\\ w^2 - 3x + 4 &=& y. \end{eqnarray*}$$Bencze Mihály (Brassó) javaslata alapján
(4 pont)
A beküldési határidő 2022. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A négy egyenletet összeadva, és mindent egy oldalra rendezve négy teljes négyzetet tudunk kialakítani:
\(\displaystyle (x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2+(w-2)^2=0.\)
A kapott egyenlet csak akkor teljesül, ha \(\displaystyle x=y=z=w=2\), hiszen valós számok négyzetösszege csak akkor lehet 0, ha mindegyikük 0. Ha viszont \(\displaystyle x=y=z=w=2\), akkor a négy megadott egyenlet valóban teljesül.
Tehát az egyenletrendszernek egyetlen megoldása van, éspedig \(\displaystyle x=y=z=w=2\).
Statisztika:
202 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 158 versenyző. 3 pontot kapott: 7 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 6 versenyző. Nem versenyszerű: 12 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 3 dolgozat.
A KöMaL 2022. szeptemberi matematika feladatai