Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5263. feladat (2022. október)

B. 5263. Igazoljuk, hogy a háromszög súlyvonalainak négyzetösszege nem kisebb a félkerület négyzeténél.

Javasolta: Németh László (Fonyód)

(3 pont)

A beküldési határidő 2022. november 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Ismert, hogy a paralelogramma oldalainak négyzetösszege egyenlő az átlók négyzetösszegével (paralelogramma-tétel). Ebből azonnal következik az a – szintén ismert – tény, hogy a háromszög súlyvonalainak hossza kifejezhető az oldalak hosszával. A szokásos jelölések mellett tükrözzük a háromszöget a \(\displaystyle BC\) oldal felezőpontjára. Ekkor egy olyan paralelogrammát kapunk, amelynek oldalai \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\), átlói pedig az \(\displaystyle a\) oldal és az \(\displaystyle a\)-hoz tartozó \(\displaystyle s_a\) súlyvonal kétszerese. A paralelogramma-tétel ebben az esetben:

\(\displaystyle a^2+(2s_a)^2=2b^2+2c^2. \)

Rendezve:

\(\displaystyle s_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}.\)

Ugyanezzel az eljárással a három súlyvonal négyzetének összege:

\(\displaystyle s_a^2+s_b^2+s_c^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}+\frac{2c^2+2a^2-b^2}{4}+\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2).\)

A befejezéshez használjuk a három pozitív szám számtani és négyzetes közepei közötti egyenlőtlenséget, mely szerint

\(\displaystyle \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\ge \frac{a+b+c}{3}.\)

A háromszögre tekintettel ez most írható

\(\displaystyle \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\ge \frac{2s}{3}\)

alakban is, ahonnan a négyzetösszeget kifejezve és a súlyvonalak négyzetösszegébe helyettesítve éppen a feladat állítását kapjuk:

\(\displaystyle a^2+b^2+c^2 \ge \frac{4s^2}{3}, \)

\(\displaystyle s_a^2+s_b^2+s_c^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2) \ge \frac{3}{4}\frac{4s^2}{3}=s^2.\)

Egyenlőség akkor és a csak akkor, ha a számtani-négyzetes közepek között egyenlőség van, ez pedig pontosan \(\displaystyle a=b=c\) esetén áll fenn.


Statisztika:

166 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:142 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.
Nem versenyszerű:10 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:2 dolgozat.

A KöMaL 2022. októberi matematika feladatai