 |
A B. 5263. feladat (2022. október) |
B. 5263. Igazoljuk, hogy a háromszög súlyvonalainak négyzetösszege nem kisebb a félkerület négyzeténél.
Javasolta: Németh László (Fonyód)
(3 pont)
A beküldési határidő 2022. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Ismert, hogy a paralelogramma oldalainak négyzetösszege egyenlő az átlók négyzetösszegével (paralelogramma-tétel). Ebből azonnal következik az a – szintén ismert – tény, hogy a háromszög súlyvonalainak hossza kifejezhető az oldalak hosszával. A szokásos jelölések mellett tükrözzük a háromszöget a \(\displaystyle BC\) oldal felezőpontjára. Ekkor egy olyan paralelogrammát kapunk, amelynek oldalai \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\), átlói pedig az \(\displaystyle a\) oldal és az \(\displaystyle a\)-hoz tartozó \(\displaystyle s_a\) súlyvonal kétszerese. A paralelogramma-tétel ebben az esetben:
\(\displaystyle a^2+(2s_a)^2=2b^2+2c^2. \)
Rendezve:
\(\displaystyle s_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}.\)
Ugyanezzel az eljárással a három súlyvonal négyzetének összege:
\(\displaystyle s_a^2+s_b^2+s_c^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}+\frac{2c^2+2a^2-b^2}{4}+\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2).\)
A befejezéshez használjuk a három pozitív szám számtani és négyzetes közepei közötti egyenlőtlenséget, mely szerint
\(\displaystyle \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\ge \frac{a+b+c}{3}.\)
A háromszögre tekintettel ez most írható
\(\displaystyle \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\ge \frac{2s}{3}\)
alakban is, ahonnan a négyzetösszeget kifejezve és a súlyvonalak négyzetösszegébe helyettesítve éppen a feladat állítását kapjuk:
\(\displaystyle a^2+b^2+c^2 \ge \frac{4s^2}{3}, \)
\(\displaystyle s_a^2+s_b^2+s_c^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2) \ge \frac{3}{4}\frac{4s^2}{3}=s^2.\)
Egyenlőség akkor és a csak akkor, ha a számtani-négyzetes közepek között egyenlőség van, ez pedig pontosan \(\displaystyle a=b=c\) esetén áll fenn.
Statisztika:
166 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 143 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem versenyszerű: 10 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2022. októberi matematika feladatai