Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5271. feladat (2022. november)

B. 5271. Legyen \(\displaystyle ABC\) olyan egyenlő szárú derékszögű háromszög, amelyben a \(\displaystyle C\) csúcsnál van a derékszög. Jelöljük ki az \(\displaystyle AB\) oldal belsejében az \(\displaystyle A'\), a \(\displaystyle BC\) oldal belsejében a \(\displaystyle B'\) és a \(\displaystyle CA\) oldal belsejében a \(\displaystyle C'\) pontokat úgy, hogy az \(\displaystyle A'B'C'\) háromszög hasonló legyen az \(\displaystyle ABC\) háromszöghöz.

Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle AB\) oldal felezőpontja, az \(\displaystyle A'B'\) szakasz felezőpontja és a \(\displaystyle C\) pont egy egyenesre esik.

Javasolta: Hajdu Endre (Sopron) és Hujter Mihály (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2022. december 12-én LEJÁRT.


Megoldás. Helyezzük el a háromszöget a derékszögű koordináta-rendszerben úgy, hogy az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) csúcsok koordinátái rendre \(\displaystyle (0;0)\), \(\displaystyle (2;0)\), \(\displaystyle (1;1)\). Az illeszkedési feltételek miatt az \(\displaystyle A'\), \(\displaystyle B'\), \(\displaystyle C'\) csúcsok koordinátái rendre \(\displaystyle (2a;0)\), \(\displaystyle (2b;2-2b)\), \(\displaystyle (c;c)\) alakban írhatóak alkalmas \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) valósakkal. Ekkor a \(\displaystyle \overrightarrow{C'A'}\) vektor koordinátái \(\displaystyle (2a-c;-c)\), a \(\displaystyle \overrightarrow{C'B'}\) vektor koordinátái pedig \(\displaystyle (2b-c;2-2b-c)\). Az \(\displaystyle AB\) szakasz felezőpontjának koordinátái \(\displaystyle (1;0)\), az \(\displaystyle A'B'\) szakasz felezőpontjának koordinátái pedig \(\displaystyle (a+b;1-b)\).

Az \(\displaystyle A'B'C'\) háromszög pontosan akkor hasonló \(\displaystyle ABC\)-hez (az azonos betűzésnek megfelelően), ha a \(\displaystyle C'\) pont körüli \(\displaystyle +90^{\circ}\)os elforgatás a \(\displaystyle \overrightarrow{C'A'}\) vektort \(\displaystyle \overrightarrow{C'B'}\)-be viszi, azaz ha

\(\displaystyle (c;2a-c) = (2b-c;2-2b-c)\,. \)

Innen, a második koordináták egyenlősége alapján \(\displaystyle 2a-c = 2-2b-c\), azaz \(\displaystyle a+b\)=1. Tehát \(\displaystyle C\), valamint az \(\displaystyle A'B'\) és az \(\displaystyle AB\) szakaszok felezőpontja egyaránt illeszkedik az \(\displaystyle x=1\) egyenletű egyenesre.


Statisztika:

104 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:Achyut Bharadwaj, Aravin Peter, Balaskó Imola, Bencz Benedek, Bodor Mátyás, Czanik Pál, Diaconescu Tashi, Domján Olivér, Erdélyi Kata, Fehérvári Donát, Fórizs Emma, Gábor Benjámin, Gömze Norken, Hodossy Réka, Holló Martin, Horák Zsófia, Inokai Ádám, Juhász-Molnár Erik, Kerekes András, Kosztolányi Karina, Kovács Benedek Noel, László Anna, Licsik Zsófia, Melján Dávid Gergő, Mészáros-Komáromy Boldizsár, Miklós Janka, Mizik Lóránt, Nagy 292 Korina, Nagy 429 Leila, Nguyen Kim Dorka, Ottrok Barbara, Őrfi Ádám, Pálfi András, Petrányi Lilla, Prohászka Bulcsú, Romaniuc Albert-Iulian, Sárdinecz Dóra, Schneider Dávid, Sipos Botond Örs, Szabó Imre Bence, Szalontai Júlia, Szanyi Attila, Szittyai Anna, Téti Miklós, Tran Dávid, Tusnády Sámuel, Varga Boldizsár, Virág Lénárd Dániel, Virág Rudolf, Zhai Yu Fan.
2 pontot kapott:12 versenyző.
1 pontot kapott:24 versenyző.
0 pontot kapott:13 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:1 dolgozat.

A KöMaL 2022. novemberi matematika feladatai