A B. 5281. feladat (2022. december)

B. 5281. Bizonyítsuk be, hogy minden $\displaystyle d > 1$ pozitív egész számhoz található egy olyan pozitív egész szám, amelynek osztói között pontosan ugyanannyi $\displaystyle d$-vel osztható van, mint $\displaystyle d$-vel nem osztható.

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen $\displaystyle d$ prímtényezős felbontása

$\displaystyle d = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{k_n},$

itt $\displaystyle p_1,p_2,\ldots,p_n$ különböző prímszámok és $\displaystyle k_1,k_2,\ldots,k_n$ pozitív egészek.

Keressük a feladat megoldását jelentő $\displaystyle N$ számot

$\displaystyle N = p_1^{k_1+\ell_1} \cdot p_2^{k_2+\ell_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{k_n+\ell_n}$

alakban, ahol $\displaystyle \ell_1,\ell_2,\ldots,\ell_n$ nemnegatív egészek.

$\displaystyle N$ osztói azok a

$\displaystyle p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{m_n}$

alakú számok, ahol $\displaystyle m_i \in \{0 , 1, \ldots, k_i+\ell_i\}$ minden $\displaystyle i$-re. Ezen számok közül azok oszthatók $\displaystyle d$-vel, amelyeknél minden $\displaystyle i$-re teljesül, hogy $\displaystyle m_i \in \{ k_i,k_i+1,\ldots,k_i + \ell_i\}$. Az $\displaystyle m_i$ kitevők egymástól függetlenül választhatók meg, így az $\displaystyle N$ számnak összesen

$\displaystyle (k_1+\ell_1+1)\cdot(k_2+\ell_2+1)\cdot\ldots\cdot(k_n+\ell_n+1)$

osztója van, és ezek közül

$\displaystyle (\ell_1+1)\cdot(\ell_2+1)\cdot\ldots\cdot(\ell_n+1)$

darab lesz osztható $\displaystyle d$-vel. Az a célunk, hogy az előbbi szám az utóbbinak kétszerese legyen.

Az egyszerűség kedvéért vezessük be az $\displaystyle \ell'_i = \ell_i+1$ jelölést. A feladatunk így ekvivalens a következő állítással:

Tetszőleges $\displaystyle k_1,k_2,\ldots,k_n$ pozitív egészekhez lehet választani olyan $\displaystyle \ell'_1,\ell'_2,\ldots,\ell'_n$ pozitív egészeket, amelyekre

$\displaystyle \frac{k_1+\ell'_1}{\ell'_1} \cdot \frac{k_2+\ell'_2}{\ell'_2} \cdot \ldots \cdot \frac{k_n+\ell'_n}{\ell'_n} = 2.$

Egy lehetséges módszer megfelelő $\displaystyle \ell'_i$ számok megválasztására a következő. Legyen minden $\displaystyle 2 \leq i \leq n$ esetén $\displaystyle \ell'_{i} = k_{i-1} + \ell'_{i-1}$, azaz a szorzatban minden tört számlálója megegyezik a következő tört nevezőjével. Így egyszerűsítés után csak az első tört nevezője és az utolsó tört számlálója marad, azaz:

$\displaystyle \frac{k_n+\ell'_n}{\ell'_1} = 2,$

itt persze $\displaystyle \ell'_n = \ell'_{1} + k_{1} + k_2 + \ldots + k_{n-1}$. Ha tehát $\displaystyle \ell'_1$-et így választjuk meg:

$\displaystyle \ell'_1 = k_1 + k_2 + \ldots + k_n,$

akkor teljesül a kívánt

$\displaystyle \frac{k_1+\ell'_1}{\ell'_1} \cdot \frac{k_2+\ell'_2}{\ell'_2} \cdot \ldots \cdot \frac{k_n+\ell'_n}{\ell'_n} = \frac{k_n+\ell'_n}{\ell'_1} = \frac{2(k_1+k_2+\ldots+k_n)}{k_1+k_2+\ldots+k_n} = 2$

egyenlőség.

Megjegyzés. Egy alternatív (bár hasonlóan működő) lehetőség az $\displaystyle \ell'_i$ számok megválasztására: legyen $\displaystyle \ell'_i = k_i (n+i-1)$ minden $\displaystyle i$-re. Ekkor

$\displaystyle \frac{k_1+\ell'_1}{\ell'_1} \cdot \frac{k_2+\ell'_2}{\ell'_2} \cdot \ldots \cdot \frac{k_n+\ell'_n}{\ell'_n} = \frac{k_1 (n+1)}{k_1 n} \cdot \frac{k_2 (n+2)}{k_2 (n+1)} \cdot \ldots \cdot \frac{k_n (2 n)}{k_n (2n-1)} = \frac{2n}{n} = 2.$

Statisztika:

72 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	52 versenyző.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2022. decemberi matematika feladatai