A B. 5281. feladat (2022. december)

B. 5281. Bizonyítsuk be, hogy minden \(\displaystyle d > 1\) pozitív egész számhoz található egy olyan pozitív egész szám, amelynek osztói között pontosan ugyanannyi \(\displaystyle d\)-vel osztható van, mint \(\displaystyle d\)-vel nem osztható.

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle d\) prímtényezős felbontása

\(\displaystyle d = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{k_n},\)

itt \(\displaystyle p_1,p_2,\ldots,p_n\) különböző prímszámok és \(\displaystyle k_1,k_2,\ldots,k_n\) pozitív egészek.

Keressük a feladat megoldását jelentő \(\displaystyle N\) számot

\(\displaystyle N = p_1^{k_1+\ell_1} \cdot p_2^{k_2+\ell_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{k_n+\ell_n} \)

alakban, ahol \(\displaystyle \ell_1,\ell_2,\ldots,\ell_n\) nemnegatív egészek.

\(\displaystyle N\) osztói azok a

\(\displaystyle p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{m_n}\)

alakú számok, ahol \(\displaystyle m_i \in \{0 , 1, \ldots, k_i+\ell_i\}\) minden \(\displaystyle i\)-re. Ezen számok közül azok oszthatók \(\displaystyle d\)-vel, amelyeknél minden \(\displaystyle i\)-re teljesül, hogy \(\displaystyle m_i \in \{ k_i,k_i+1,\ldots,k_i + \ell_i\}\). Az \(\displaystyle m_i\) kitevők egymástól függetlenül választhatók meg, így az \(\displaystyle N\) számnak összesen

\(\displaystyle (k_1+\ell_1+1)\cdot(k_2+\ell_2+1)\cdot\ldots\cdot(k_n+\ell_n+1) \)

osztója van, és ezek közül

\(\displaystyle (\ell_1+1)\cdot(\ell_2+1)\cdot\ldots\cdot(\ell_n+1) \)

darab lesz osztható \(\displaystyle d\)-vel. Az a célunk, hogy az előbbi szám az utóbbinak kétszerese legyen.

Az egyszerűség kedvéért vezessük be az \(\displaystyle \ell'_i = \ell_i+1\) jelölést. A feladatunk így ekvivalens a következő állítással:

Tetszőleges \(\displaystyle k_1,k_2,\ldots,k_n\) pozitív egészekhez lehet választani olyan \(\displaystyle \ell'_1,\ell'_2,\ldots,\ell'_n\) pozitív egészeket, amelyekre

\(\displaystyle \frac{k_1+\ell'_1}{\ell'_1} \cdot \frac{k_2+\ell'_2}{\ell'_2} \cdot \ldots \cdot \frac{k_n+\ell'_n}{\ell'_n} = 2. \)

Egy lehetséges módszer megfelelő \(\displaystyle \ell'_i\) számok megválasztására a következő. Legyen minden \(\displaystyle 2 \leq i \leq n\) esetén \(\displaystyle \ell'_{i} = k_{i-1} + \ell'_{i-1}\), azaz a szorzatban minden tört számlálója megegyezik a következő tört nevezőjével. Így egyszerűsítés után csak az első tört nevezője és az utolsó tört számlálója marad, azaz:

\(\displaystyle \frac{k_n+\ell'_n}{\ell'_1} = 2, \)

itt persze \(\displaystyle \ell'_n = \ell'_{1} + k_{1} + k_2 + \ldots + k_{n-1}\). Ha tehát \(\displaystyle \ell'_1\)-et így választjuk meg:

\(\displaystyle \ell'_1 = k_1 + k_2 + \ldots + k_n, \)

akkor teljesül a kívánt

\(\displaystyle \frac{k_1+\ell'_1}{\ell'_1} \cdot \frac{k_2+\ell'_2}{\ell'_2} \cdot \ldots \cdot \frac{k_n+\ell'_n}{\ell'_n} = \frac{k_n+\ell'_n}{\ell'_1} = \frac{2(k_1+k_2+\ldots+k_n)}{k_1+k_2+\ldots+k_n} = 2 \)

egyenlőség.

Megjegyzés. Egy alternatív (bár hasonlóan működő) lehetőség az \(\displaystyle \ell'_i\) számok megválasztására: legyen \(\displaystyle \ell'_i = k_i (n+i-1)\) minden \(\displaystyle i\)-re. Ekkor

\(\displaystyle \frac{k_1+\ell'_1}{\ell'_1} \cdot \frac{k_2+\ell'_2}{\ell'_2} \cdot \ldots \cdot \frac{k_n+\ell'_n}{\ell'_n} = \frac{k_1 (n+1)}{k_1 n} \cdot \frac{k_2 (n+2)}{k_2 (n+1)} \cdot \ldots \cdot \frac{k_n (2 n)}{k_n (2n-1)} = \frac{2n}{n} = 2. \)

Statisztika:

72 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	52 versenyző.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2022. decemberi matematika feladatai