A B. 5287. feladat (2023. január)

B. 5287. Két kör kívülről érinti egymást. A körök középpontján átmenő egyenes a köröket – az érintési ponton kívül – az \(\displaystyle A\) és a \(\displaystyle B\) pontokban metszi. A körök egyik közös külső érintőjének az érintési pontjai \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\). Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle AP\) és \(\displaystyle BQ\) egyenesek a körök közös belső érintőjén metszik egymást. (Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle P\) pontok vannak az egyik körön, a \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle Q\) pontok pedig a másikon.)

Javasolta: Molnár István Ádám (Miskolc)

(3 pont)

A beküldési határidő 2023. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az \(\displaystyle AP\) és \(\displaystyle BQ\) egyenes metszéspontját jelölje \(\displaystyle C\), a \(\displaystyle CE\) és \(\displaystyle PQ\) egyenes metszéspontját \(\displaystyle M\), a \(\displaystyle PAE\sphericalangle\) szöget pedig \(\displaystyle \alpha\).

Ismert, hogy két egymást kívülről érintő kör hatványvonala az érintési pontban a centrálisra állított merőleges, amely felezi a külső érintőszakaszt.

A \(\displaystyle k_1\) körben \(\displaystyle PO_1 E\sphericalangle\) és \(\displaystyle PAE\sphericalangle\) ugyanahhoz az ívhez tartozó középponti és kerületi szög, ezért \(\displaystyle PO_1 E\sphericalangle=2PAE\sphericalangle=2\alpha\). Mivel a \(\displaystyle PO_1\) és \(\displaystyle QO_2\) szakaszok merőlegesek \(\displaystyle PQ\)-ra, azért \(\displaystyle PO_1 B\sphericalangle\) és \(\displaystyle QO_2 B\sphericalangle\) egyállású szögek, így \(\displaystyle QO_2 B\sphericalangle=2\alpha\). A \(\displaystyle BO_2 Q\) egyenlő szárú háromszögben \(\displaystyle O_2 BQ\sphericalangle =(180^{\circ}-QO_2B\sphericalangle)/2=90^{\circ}-\alpha\). Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle BCA\sphericalangle=180^{\circ}-CAB\sphericalangle-ABC\sphericalangle=90^{\circ}\). A \(\displaystyle k_1\) körben a Thalész-tétel szerint \(\displaystyle APE\sphericalangle=90^{\circ}\), ezért \(\displaystyle CPE\sphericalangle=90^{\circ}\). Hasonlóan a \(\displaystyle k_2\) körben \(\displaystyle BQE\sphericalangle=90^{\circ}\) miatt \(\displaystyle CQE\sphericalangle=90^{\circ}\). Tehát \(\displaystyle PCQ\sphericalangle=CPE\sphericalangle=CQE\sphericalangle=90^{\circ}\), azaz a \(\displaystyle CPEQ\) négyszög téglalap, így \(\displaystyle PM=EM\). Ebből következik, hogy az \(\displaystyle EM\) szakasz érinti a \(\displaystyle k_1\) kört, következésképpen merőleges \(\displaystyle O_1O_2\)-re, ezért a \(\displaystyle k_2\) kört is érinti.

Statisztika:

109 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	85 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	14 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2023. januári matematika feladatai