A B. 5287. feladat (2023. január)

B. 5287. Két kör kívülről érinti egymást. A körök középpontján átmenő egyenes a köröket – az érintési ponton kívül – az $\displaystyle A$ és a $\displaystyle B$ pontokban metszi. A körök egyik közös külső érintőjének az érintési pontjai $\displaystyle P$ és $\displaystyle Q$. Igazoljuk, hogy az $\displaystyle AP$ és $\displaystyle BQ$ egyenesek a körök közös belső érintőjén metszik egymást. (Az $\displaystyle A$ és $\displaystyle P$ pontok vannak az egyik körön, a $\displaystyle B$ és $\displaystyle Q$ pontok pedig a másikon.)

Javasolta: Molnár István Ádám (Miskolc)

(3 pont)

A beküldési határidő 2023. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az $\displaystyle AP$ és $\displaystyle BQ$ egyenes metszéspontját jelölje $\displaystyle C$, a $\displaystyle CE$ és $\displaystyle PQ$ egyenes metszéspontját $\displaystyle M$, a $\displaystyle PAE\sphericalangle$ szöget pedig $\displaystyle \alpha$.

Ismert, hogy két egymást kívülről érintő kör hatványvonala az érintési pontban a centrálisra állított merőleges, amely felezi a külső érintőszakaszt.

A $\displaystyle k_1$ körben $\displaystyle PO_1 E\sphericalangle$ és $\displaystyle PAE\sphericalangle$ ugyanahhoz az ívhez tartozó középponti és kerületi szög, ezért $\displaystyle PO_1 E\sphericalangle=2PAE\sphericalangle=2\alpha$. Mivel a $\displaystyle PO_1$ és $\displaystyle QO_2$ szakaszok merőlegesek $\displaystyle PQ$-ra, azért $\displaystyle PO_1 B\sphericalangle$ és $\displaystyle QO_2 B\sphericalangle$ egyállású szögek, így $\displaystyle QO_2 B\sphericalangle=2\alpha$. A $\displaystyle BO_2 Q$ egyenlő szárú háromszögben $\displaystyle O_2 BQ\sphericalangle =(180^{\circ}-QO_2B\sphericalangle)/2=90^{\circ}-\alpha$. Az $\displaystyle ABC$ háromszögben $\displaystyle BCA\sphericalangle=180^{\circ}-CAB\sphericalangle-ABC\sphericalangle=90^{\circ}$. A $\displaystyle k_1$ körben a Thalész-tétel szerint $\displaystyle APE\sphericalangle=90^{\circ}$, ezért $\displaystyle CPE\sphericalangle=90^{\circ}$. Hasonlóan a $\displaystyle k_2$ körben $\displaystyle BQE\sphericalangle=90^{\circ}$ miatt $\displaystyle CQE\sphericalangle=90^{\circ}$. Tehát $\displaystyle PCQ\sphericalangle=CPE\sphericalangle=CQE\sphericalangle=90^{\circ}$, azaz a $\displaystyle CPEQ$ négyszög téglalap, így $\displaystyle PM=EM$. Ebből következik, hogy az $\displaystyle EM$ szakasz érinti a $\displaystyle k_1$ kört, következésképpen merőleges $\displaystyle O_1O_2$-re, ezért a $\displaystyle k_2$ kört is érinti.

Statisztika:

109 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	85 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	14 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2023. januári matematika feladatai