A B. 5309. feladat (2023. március)

B. 5309. Szerkesszük meg a parabola fókuszpontját és vezéregyenesét, ha adott a tengelye és két pontja.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(6 pont)

A beküldési határidő 2023. április 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A megoldáshoz használni fogjuk a Pascal-tételt. Ennek segítségével megszerkeszthető egy öt pontjával adott kúpszelet valamely adott pontjában az érintő:

Legyen az öt adott pont $\displaystyle A,B,C,D$ és $\displaystyle E$, és szerkesszünk érintőt a kúpszelethez $\displaystyle E$ pontjában. Ehhez alkalmazzuk a Pascal-tételt az $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$, $\displaystyle D$, $\displaystyle E$ és $\displaystyle E$ (elfajuló) ponthatosra: az $\displaystyle X=AB\cap DE$; $\displaystyle Y=BC\cap EE$ és $\displaystyle Z=CD\cap EA$ pontok egy egyenesre illeszkednek (ilyenkor a tételben $\displaystyle EE$ egyenesen az $\displaystyle E$ pontban húzott érintőt értjük). Ez alapján a szerkesztés menete: az adott öt pontból azonnal szerkeszthető $\displaystyle X$ és $\displaystyle Z$, majd $\displaystyle Y$-t az $\displaystyle XZ$ és $\displaystyle BC$ egyenesek metszeteként kapjuk. A keresett érintő az $\displaystyle EY$ egyenes.

Megjegyezzük, hogy a fenti eljárás a projektív síkon további diszkusszió nélkül érvényes. Nekünk az euklídeszi síkon arra a speciális esetre lesz szükségünk, amikor egy parabolán adott négy különböző $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$ és $\displaystyle D$ pont, valamint adott a parabola $\displaystyle t$ tengelye (utóbbi lényegében a parabola ideális pontját adja meg), és az $\displaystyle A$-ban húzott érintőt kell megszerkesztenünk. Ekkor az eljárás a következőképpen írható le, ahol az egyszerűség kedvéért használjuk a $\displaystyle t_P$ jelölést a $\displaystyle P$-re illeszkedő, $\displaystyle t$-vel párhuzamos egyenesre, tetszőleges $\displaystyle P$ pont esetén: Szerkesszük meg az $\displaystyle X=t_B\cap DA$ és $\displaystyle Z=CD\cap t_A$ pontokat. Ezután szerkesszük meg az $\displaystyle Y=BC\cap XZ$ pontot. Az $\displaystyle AY$ a keresett érintő.

Továbbá használni fogjuk a parabola következő jól ismert tulajdonságait is (lásd például: Czapári-Soós: Geometriai feladatok gyűjteménye II., 1152. feladat): Legyen egy parabola fókusza $\displaystyle F$, vezéregyenese $\displaystyle d$, tengelye $\displaystyle t$. Tekintsük a parabola egy tetszőleges $\displaystyle E$ pontját, az $\displaystyle E$-ben húzott érintő legyen $\displaystyle e$, az $\displaystyle E$-ből a vezéregyenesre bocsájtott merőleges talppontja $\displaystyle T$. Ekkor $\displaystyle F$ $\displaystyle e$-re vonatkozó tükörképe éppen $\displaystyle T$. Következésképpen ha tükrözzük $\displaystyle t$-t $\displaystyle e$-re, akkor az így kapott $\displaystyle t'$ egyenes, $\displaystyle d$ és $\displaystyle ET$ egy közös pontban, $\displaystyle T$-ben metszik egymást.

Ezek alapján a következő szerkesztési eljárást adhatjuk.

1. Legyen adott a $\displaystyle t$ egyenes, valamint az $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ pontok.
2. Szerkesszük meg $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ $\displaystyle t$-re vonatkozó $\displaystyle A'$ és $\displaystyle B'$ tükörképeit.
3. A fenti módszerrel szerkesszük meg az $\displaystyle A$, $\displaystyle A'$, $\displaystyle B$ és $\displaystyle B'$ pontok, valamint a $\displaystyle t$ tengely segítségével a parabolához $\displaystyle A$-ban húzott $\displaystyle a$ érintőjét.
4. Szerkesszünk $\displaystyle A$-n keresztül $\displaystyle t_A$ párhuzamost $\displaystyle t$-vel.
5. Messe a $\displaystyle t$ tengely $\displaystyle a$-ra vonatkozó $\displaystyle t'$ tükörképe $\displaystyle t_A$-t $\displaystyle T$-ben.
6. $\displaystyle T$ pont tükörképe $\displaystyle a$-ra adja a keresett fókuszpontot, míg a $\displaystyle T$-ből $\displaystyle t$-re bocsájtott merőleges a keresett vezéregyenes.

Előrebocsájtott megjegyzéseink igazolják a szerkesztés helyességét.

Diszkusszió. Nyilvánvalóan nincs megoldása a feladatnak, ha az adott $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ pontokat összekötő egyenes párhuzamos a $\displaystyle t$ tengellyel, vagy ha $\displaystyle AB$ merőleges a $\displaystyle t$ tengelyre, de $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ nem egymás tükörképei.

Ha $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ tükrösek $\displaystyle t$-re, akkor egy további, $\displaystyle AB$-re nem illeszkedő $\displaystyle C$ pontot tetszőlegesen felvéve a parabola a mutatott módon megszerkeszthető, azaz ilyenkor végtelen sok megoldás van.

Ha a pontok közül pontosan az egyik, mondjuk $\displaystyle A$, illeszkedik a tengelyre (és $\displaystyle AB$ nem merőleges $\displaystyle t$-re), akkor a megadott szerkesztési eljárás nem működik. Ilyenkor az $\displaystyle A$-ban húzott $\displaystyle a$ csúcsérintő egyszerűen a $\displaystyle t$-re $\displaystyle A$-ban állított merőleges. A $\displaystyle B$ pont $\displaystyle a$-ra vett merőleges vetülete legyen $\displaystyle T_a$; az $\displaystyle AT_a$ szakasz felezőpontja $\displaystyle M$. Ekkor szintén a korábban idézett feladat szerint $\displaystyle BM$ a $\displaystyle B$-ben húzott érintő, s innen a szerkesztés a korábban látott módon befejezhető. Pontosan egy megoldás van.

Minden más esetben pontosan egy megoldás van, amit a megadott eljárás szolgáltat.

Statisztika:

46 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Ali Richárd, Bencz Benedek, Bodor Mátyás, Chrobák Gergő, Czanik Pál, Czirják Márton Pál, Diaconescu Tashi, Fajszi Karsa, Gömze Norken, Guthy Gábor, Holló Martin, Jármai Roland, Juhász-Molnár Erik, Kocsis 827 Péter, Kovács Benedek Noel, Nguyen Kim Dorka, Petrányi Lilla, Prohászka Bulcsú, Sági Mihály, Szakács Ábel, Szemlér Bálint, Tarján Bernát, Varga Boldizsár, Veres Dorottya, Zhai Yu Fan.
5 pontot kapott:	Christ Miranda Anna, Csonka Illés, Nagy 429 Leila, Op Den Kelder Ábel, Tran Dávid, Virág Lénárd Dániel, Virág Rudolf, Zömbik Barnabás.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2023. márciusi matematika feladatai