A B. 5311. feladat (2023. április)

B. 5311. Igaz-e, hogy ha egy háromszög mindhárom szögének szinusza racionális, akkor mindhárom szög koszinusza is racionális?

Javasolta: Hujter Mihály (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2023. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje a szokásos módon a háromszög oldalait $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$, a velük szemben levő szögeket rendre $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$, $\displaystyle \gamma$.

A koszinusztétel szerint: $\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$, azaz

$\displaystyle \cos \gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac12 \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} - \frac{c}{a} \cdot \frac{c}{b} \right) = \frac12 \left( \frac{\sin \alpha }{ \sin \beta} + \frac{ \sin \beta }{ \sin \alpha} - \frac{ \sin \gamma }{ \sin \alpha} \cdot \frac{ \sin \gamma}{ \sin \beta} \right).$

Az utolsó egyenlőségnél a szinusztételt használtuk. Ha a feladat feltétele (minden szög szinusza racionális) teljesül, akkor a jobb oldal racionális, így a bal oldalon $\displaystyle \cos \gamma$ is. Ezzel beláttuk a háromszög tetszőlges szögére, hogy a koszinusza racionális, tehát a feladat állítása igaz.

Megjegyzés. Az állítás megfordítása nem teljesül, hiszen például a szabályos háromszög szögeire $\displaystyle \cos(60^\circ) = \frac12$, racionális; de $\displaystyle \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}2$, irracionális.

Statisztika:

83 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	74 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2023. áprilisi matematika feladatai