Problem B. 5315. (April 2023)
B. 5315. Consider a triangle \(\displaystyle ABC\). Let \(\displaystyle B'\) be a point on the extension of side \(\displaystyle AB\) beyond \(\displaystyle B\), and let \(\displaystyle C'\) be the point on the extension of side \(\displaystyle AC\) beyond \(\displaystyle C\) such that \(\displaystyle BB'=CC'\). Let \(\displaystyle k\) and \(\displaystyle k'\) denote the circumscribed circles of triangles \(\displaystyle ABC'\) and \(\displaystyle AB'C\), respectively. Prove that the common chord of \(\displaystyle k\) and \(\displaystyle k'\) lies on the angle bisector drawn from \(\displaystyle A\).
Proposed by M. Hujter, Budapest
(5 pont)
Deadline expired on May 10, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A \(\displaystyle k\) és a \(\displaystyle k'\) kör egyik metszéspontja \(\displaystyle A\); jelöljük a második metszéspontot \(\displaystyle M\)-mel. Azt kell igazolnunk, hogy \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle BAC\) szög felezőjén van.
Először megmutatjuk, hogy \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle BAC\) szögtartomány belsejében van. A \(\displaystyle B'\) pont a \(\displaystyle k\) körben a \(\displaystyle AB\) húr meghosszabbításán, tehát a körön kívül van. A \(\displaystyle C\) pont az \(\displaystyle AC'\) húr belső pontja, tehát \(\displaystyle C\) a \(\displaystyle k\) kör belsejébe esik. Ezért a \(\displaystyle k'\) kör mindkét két \(\displaystyle BC'\) íve elmetszi a \(\displaystyle k\) kört. Az \(\displaystyle A\) és az \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle k'\) kör egymással szemközti \(\displaystyle B'C\) ívein vannak, tehát a pontok sorrendje \(\displaystyle B',A,C,M\), így \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle B'AC\) szögtartomány belsejébe esik.
Az \(\displaystyle ABMC'\) és \(\displaystyle AB'MC\) húrnégyszögekből
\(\displaystyle B'BM\sphericalangle = 180^\circ-MBA\sphericalangle = AC'M\sphericalangle = CC'M\sphericalangle \)
és
\(\displaystyle MB'B\sphericalangle = MB'A\sphericalangle = 180^\circ-ACM\sphericalangle = MCC'. \)
A feladat feltételei szerint \(\displaystyle BB'=CC'\). A \(\displaystyle BB'M\) és \(\displaystyle C'CM\) háromszögekben egy-egy oldal, és két-két szög megegyezik; a két háromszög egybevágó. A \(\displaystyle BB'M\) és \(\displaystyle C'CM\) háromszögek egybevágósága miatt az \(\displaystyle M\)-ből induló magasságok is ugyanakkorák; az \(\displaystyle M\) pont tehát ugyanakkora távolságban van az \(\displaystyle ABB'\) és \(\displaystyle ACC'\) egyenesektől, vagyis \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle BAC\) szög felezőjén van.
Statistics:
53 students sent a solution. 5 points: Ali Richárd, Balaskó Imola, Baráth Borbála, Bencz Benedek, Bodor Mátyás, Bui Thuy-Trang Nikolett, Christ Miranda Anna, Chrobák Gergő, Csilling Dániel, Csonka Illés, Czanik Pál, Czirják Márton Pál, Diaconescu Tashi, Erdélyi Kata, Fekete Aron, Gömze Norken, Guthy Gábor, Hodossy Réka, Holló Martin, Horák Zsófia, Horváth 530 Mihály, Inokai Ádám, Jármai Roland, Kerekes András, Kocsis 827 Péter, Kosztolányi Karina, Kovács Benedek Noel, Melján Dávid Gergő, Mizik Lóránt, Nagy 292 Korina, Nagy 429 Leila, Nguyen Kim Dorka, Op Den Kelder Ábel, Pacsay-Tomassich Vince, Petrányi Lilla, Prohászka Bulcsú, Sárdinecz Dóra, Szabó 810 Levente, Szakács Ábel, Szalontai Júlia, Tarján Bernát, Tran Dávid, Tusnády Sámuel, Varga Boldizsár, Veres Dorottya, Vigh 279 Zalán, Virág Lénárd Dániel, Zhai Yu Fan, Zömbik Barnabás. 4 points: Teveli Jakab. 3 points: 1 student. 2 points: 1 student. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2023