A B. 5316. feladat (2023. április)

B. 5316. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle 0<a,b<1\), akkor

\(\displaystyle (a+b-ab)\big(a^b+b^a\big) > a+b. \)

Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)

(6 pont)

A beküldési határidő 2023. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Írjuk fel a súlyozott számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget az \(\displaystyle 1\) és az \(\displaystyle a\) számokra, a \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle 1-b\) súlyokkal:

\(\displaystyle a+b-ab = b\cdot 1+(1-b)\cdot a \ge 1^b \cdot a^{1-b} = a^{1-b}; \)

\(\displaystyle a^b\)-vel szorozva,

\(\displaystyle (a+b-ab)a^b \ge a. \)

Egyenlőség csak akkor állna fenn, ha az \(\displaystyle 1\) és \(\displaystyle a\) számok, amelyeknek a közepeit vettük, egyenlők lennének. A feltétel miatt \(\displaystyle a<1\), így egyenlőség nem állhat fenn a két közép között. Tehát,

\(\displaystyle (a+b-ab)a^b > a. \)

Az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) felcserélésével, ugyanígy kapjuk, hogy

\(\displaystyle (a+b-ab)b^a > b. \)

A két becslés összege éppen a bizonyítandó állítás.

Statisztika:

15 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bodor Mátyás, Csonka Illés, Czirják Márton Pál, Diaconescu Tashi, Holló Martin, Jármai Roland, Kocsis 827 Péter, Romaniuc Albert-Iulian, Szakács Ábel, Varga Boldizsár.
5 pontot kapott:	Bencz Benedek.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2023. áprilisi matematika feladatai