 |
A B. 5318. feladat (2023. május) |
B. 5318. Egy pozitív egész számnak leírtuk az összes pozitív osztóját egy lapra. A leírt számok között két olyan van, amely 8-cal osztva 2 maradékot ad és négy olyan van, amely 8-cal osztva 4 maradékot ad. Hány olyan szám lehet a lapon, amely 8-cal osztva 6 maradékot ad?
Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)
(3 pont)
A beküldési határidő 2023. június 12-én LEJÁRT.
Megoldás. A megoldás során osztóként végig a pozitív osztókra hivatkozunk majd. A feltétel szerint a számnak van 8-cal osztva 4 maradékot adó osztója (négy is), így a szám osztható 4-gyel. A 8-cal osztva 4 maradékot adó osztókat úgy kaphatjuk meg, hogy a páratlan osztók mindegyikét 4-gyel szorozzuk, tehát a számnak pontosan 4 páratlan osztója van. A 8-cal osztva 2 vagy 6 maradékot adó osztók pont azok, melyek 2-vel oszthatók, de 4-gyel már nem, így ezeket a páratlan osztókat 2-vel szorozva kaphatjuk meg. Összesen tehát négy ilyen osztó van, ezek közül kettő ad 8-cal osztva 2 maradékot, így a másik kettő pedig 8-cal osztva 6 maradékot ad. Tehát a papíron két olyan szám van, amely 8-cal osztva 6 maradékot ad.
Valóban létezik is ilyen szám, például a 60-nak a 8-cal osztva 4 maradékot adó osztói \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 12\), \(\displaystyle 20\), \(\displaystyle 60\), a 8-cal osztva 2 maradékot adó osztói \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 10\), a \(\displaystyle 8\)-cal osztva 6 maradékot adó osztói pedig \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 30\).
Megjegyzés. Mivel a számnak négy páratlan osztója van, így a legnagyobb páratlan osztója vagy \(\displaystyle p^3\) vagy \(\displaystyle pq\) alakú, ahol \(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\) különböző prímek, és maga a szám \(\displaystyle 2^kp^3\) vagy \(\displaystyle 2^kpq\), ahol \(\displaystyle k\geq 2\). Ha a páratlan rész \(\displaystyle p^3\), akkor a \(\displaystyle p\) prím 4-es maradéka 3 kell legyen, különben nem lenne 8-cal osztva 6 maradékot adó osztó. Ha a páratlan rész \(\displaystyle pq\) alakú, akkor pedig hasonló okokból \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) közül legalább az egyiknek 3 maradékot kell adnia 4-gyel osztva.
Statisztika:
73 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 56 versenyző. 2 pontot kapott: 11 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2023. májusi matematika feladatai