Problem B. 5319. (May 2023)
B. 5319. Is it true that every acute-angled triangle has at least one altitude whose foot lies in the middle third of the side?
Proposed by B. Hujter, Budapest
(3 pont)
Deadline expired on June 12, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Nem igaz az állítás: van olyan háromszög, amelynek egyik magasság-talppontja sem esik az oldal középső harmadába. Tekintsük például azt a háromszöget, amelynek csúcsai derékszögű koordináta-rendszerben:
\(\displaystyle A(0,0), \quad B(4,0), \quad C(1,7). \)
A \(\displaystyle C\)-ből induló magasság \(\displaystyle T_C\) talppontja: \(\displaystyle (1,0)\), ez nem esik az \(\displaystyle AB\) oldal középső harmadába.
A \(\displaystyle B\)-ből induló magasság \(\displaystyle T_B\) talppontját keressük
\(\displaystyle \lambda \overrightarrow{C} + (1-\lambda) \overrightarrow{A} = (\lambda, 7\lambda) \)
alakban. Mivel \(\displaystyle \overrightarrow{AC} \perp \overrightarrow{BT_B}\), ezért felírva a skaláris szorzatukat:
$$\begin{eqnarray*} (1, 7) \cdot (\lambda-4,7\lambda) &=& 0, \\ 50\lambda - 4 &=& 0. \end{eqnarray*}$$Tehát \(\displaystyle \lambda = \frac{2}{25} < \frac13\), azaz \(\displaystyle T_B\) sem esik a \(\displaystyle CA\) oldal középső harmadába.
Végül az \(\displaystyle A\)-ból induló magasság \(\displaystyle T_A\) talppontját keressük
\(\displaystyle \mu \overrightarrow{C} + (1-\mu) \overrightarrow{B} = (4-3\mu, 7\mu) \)
alakban. Mivel \(\displaystyle \overrightarrow{AT_A} \perp \overrightarrow{BC}\), ezért felírva a skaláris szorzatukat:
$$\begin{eqnarray*} (4-3\mu, 7\mu) \cdot (-3,7) &=& 0, \\ 58\mu - 12 &=& 0. \end{eqnarray*}$$Tehát \(\displaystyle \mu = \frac{12}{58} < \frac13\), azaz \(\displaystyle T_A\) sem esik a \(\displaystyle BC\) oldal középső harmadába.
Megjegyzés Általában azok a háromszögek szolgáltatnak ellenpéldát, amelyek \(\displaystyle 90^{\circ} > \alpha > \beta > \gamma > 0^{\circ}\) szögeire ez teljesül:
\(\displaystyle \tg \alpha > 2 \tg \beta > 4 \tg \gamma. \)
Ilyen háromszögeket lehet például úgy gyártani, ha kiindulunk egy olyan \(\displaystyle ABC'\) derékszögű háromszögből, amelynek \(\displaystyle A\)-nál van a derékszöge, és a befogóira \(\displaystyle AC' > \sqrt{2} \cdot AB\). Ha most \(\displaystyle C'\) csúcsot nagyon kicsit elmozgatjuk \(\displaystyle B\) irányába, a kapott \(\displaystyle C\) ponttal az \(\displaystyle ABC\) háromszög megfelelő hegyesszögű háromszög lesz.
Statistics:
63 students sent a solution. 3 points: Ali Richárd, Bencz Benedek, Bettesch Helga Adél, Bodor Mátyás, Bogdán Balázs Ákos, Böröczky András Bálint, Chrobák Gergő, Csupor Albert Dezső, Czanik Pál, Czirják Márton Pál, Domján Olivér, Fórizs Emma, Guthy Gábor, Hetyei Dániel, Hodossy Réka, Holló Martin, Horváth 530 Mihály, Inokai Ádám, Jármai Roland, Juhász-Molnár Erik, Kerekes András, Keresztély Zsófia, Kosztolányi Karina, Kovács Benedek Noel, Melján Dávid Gergő, Nagy 429 Leila, Németh Bernát, Op Den Kelder Ábel, Petrányi Lilla, Prohászka Bulcsú, Romaniuc Albert-Iulian, Schneider Dávid, Sütő Áron, Szabó 810 Levente, Szakács Domonkos, Szalontai Júlia, Szanyi Attila, Teveli Jakab, Török Eszter Júlia, Tran Dávid, Tusnády Sámuel, Vigh 279 Zalán, Virág Lénárd Dániel. 2 points: 8 students. 1 point: 8 students. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2023