 |
A B. 5329. feladat (2023. szeptember) |
B. 5329. Egy szabályos dobókockával dobunk, a játék akkor ér véget, ha 1-est dobunk vagy úgy döntünk, hogy megállunk. A nyeremény az utolsó dobás értéke. Van-e olyan stratégia, amellyel elérhető, hogy a nyeremény várható értéke legalább 4 legyen?
Javasolta: Pach Péter Pál, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2023. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Vizsgáljuk azokat a stratégiákat, amikor választunk egy \(\displaystyle 2\leq k\leq 6\) számot, és akkor döntünk úgy, hogy megállunk, ha az általunk dobott szám értéke legalább \(\displaystyle k\). Világos, hogy 1 valószínűséggel véget fog érni a játék, hiszen annak a valószínűsége, hogy az első \(\displaystyle n\) dobás között nincs 1-es \(\displaystyle \left(\frac56\right)^n\), ami 0-hoz tart. Tehát a játék 1 valószínűséggel véget ér, és a fenti stratégiát követve az utolsó dobás eredménye pedig \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle k\), \(\displaystyle k+1\), \(\displaystyle \dots\), \(\displaystyle 6\) valamelyike lehet (\(\displaystyle 8-k\)-féle lehetőség.)
Mivel a dobókocka szabályos, így az utolsó dobás egyforma valószínűséggel kerül ki ezen \(\displaystyle 8-k\) lehetőség közül, tehát a stratégia alkalmazása mellett a nyeremény várható értéke \(\displaystyle \frac{1+k+(k+1)+\dots+6}{8-k}\).
Ennek numerikus értéke
- \(\displaystyle k=6\) esetén \(\displaystyle \frac{1+6}{2}=3,5\),
- \(\displaystyle k=5\) esetén \(\displaystyle \frac{1+5+6}{3}=4\),
- \(\displaystyle k=4\) esetén \(\displaystyle \frac{1+4+5+6}{4}=4\),
- \(\displaystyle k=3\) esetén \(\displaystyle \frac{1+3+4+5+6}{5}=3,8\),
- \(\displaystyle k=2\) esetén \(\displaystyle \frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3,5\).
Így mind \(\displaystyle k=4\), mind \(\displaystyle k=5\) választással olyan stratégiát kapunk, melyet követve a nyeremény várható értéke legalább 4. (Valójában pontosan 4.)
Tehát létezik ilyen stratégia.
Statisztika:
172 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 101 versenyző. 3 pontot kapott: 20 versenyző. 2 pontot kapott: 11 versenyző. 1 pontot kapott: 9 versenyző. 0 pontot kapott: 14 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 12 dolgozat.
A KöMaL 2023. szeptemberi matematika feladatai