A B. 5330. feladat (2023. szeptember)

B. 5330. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle a,b,c\) primitív pitagoraszi számhármas, vagyis \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) olyan relatív prím pozitív egészek, amelyekre \(\displaystyle a^2+b^2=c^2\) teljesül. Mutassunk példát olyan tengelyesen szimmetrikus sokszögre, amely felbontható \(\displaystyle c\) darab \(\displaystyle a,b,c\) oldalú derékszögű háromszögre.

Javasolta: Kós Géza, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jól ismert, hogy \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) közül az egyik páratlan, a másik páros; mivel a feladatban \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) szerepe szimmetrikus, az általánosság csorbítása nélkül feltehetjük, hogy \(\displaystyle b\) páros. A pitagoraszi számhármasok jól ismert előállítása szerint alkalmas \(\displaystyle s>t\) pozitív egészekkel \(\displaystyle a=s^2-t^2\), \(\displaystyle b=2st\) és \(\displaystyle c=s^2+t^2\).

Állítsunk össze \(\displaystyle s^2\), illetve \(\displaystyle t^2\) darab, \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) oldalú kis háromszögből egy \(\displaystyle sa\), \(\displaystyle sb\), \(\displaystyle sc\), illetve egy \(\displaystyle ta\), \(\displaystyle tb\), \(\displaystyle tc\) oldalú nagyobb háromszöget, ezekből összeilleszthetjük az ábrán látható \(\displaystyle ABCD\) konkáv négyszöget.

A négyszögnek két-két szomszédos oldala egyenlő:

\(\displaystyle AD = sa+tb = s(s^2-t^2)+t\cdot 2st +s(s^2+t^2) = sc = AB \)

és

\(\displaystyle BC = sb-ta = s\cdot 2st-t(s^2-t^2) = t(s^2+t^2) = tc =CD; \)

az így kapott négyszög tehát egy deltoid, ami szimmetrikus az \(\displaystyle AC\) átlójára.

A felhasznált kis háromszögek száma pontosan \(\displaystyle s^2+t^2=c\).

Statisztika:

65 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ali Richárd, Bodor Mátyás, Chen JiaTong, Fórizs Emma, Holló Martin, Kocsis 827 Péter, Kovács Benedek Noel, Pálfi András, Petrányi Lilla, Prohászka Bulcsú, Sánta Gergely Péter, Sárdinecz Dóra, Szakács Ábel, Tran Dávid, Veres Dorottya, Zhai Yu Fan, Zömbik Barnabás.
4 pontot kapott:	Virág Tóbiás.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	35 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	6 dolgozat.

A KöMaL 2023. szeptemberi matematika feladatai