A B. 5336. feladat (2023. október)

B. 5336. Egy iskolai sorverseny díjazásához négyféle édességet vásároltunk. Volt közöttük \(\displaystyle 1300\) Ft-os, \(\displaystyle 3000\) Ft-os, \(\displaystyle 3300\) Ft-os, továbbá a közönségnek feltett villámkérdések díjazásához nagyobb számban \(\displaystyle 50\) Ft-os is.

Az édességekért \(\displaystyle 41\,300\) Ft-ot fizettünk, az átlagár pontosan \(\displaystyle 100\) Ft volt. Mennyit vettünk az egyes fajtákból?

Javasolta: Kiss Géza (Csömör)

(4 pont)

A beküldési határidő 2023. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a vásárolt mennyiség az \(\displaystyle 1300, ~3000, ~3300\) és \(\displaystyle 50\) Ft-ba kerülő édességekből rendre \(\displaystyle x, ~y, ~z, ~u\) darab. Ekkor két egyenletet tudunk felírni a darabszámok összege és a teljes bekerülési költség alapján.

\(\displaystyle x+y+z+u=413,\tag{1}\)

\(\displaystyle 1300x+3000y+3300z+50u=41300.\tag{2}\)

Osszuk el a második egyenletet \(\displaystyle 50\)-nel, majd vonjuk ki belőle az első egyenletet.

\(\displaystyle 26x+60y+66z+u=826,\)

\(\displaystyle 25x+59y+65z=413.\)

Ez az egyenlet már csak három ismeretlent tartalmaz, ráadásul a bal oldalon két tag is osztható 5-tel.

Rendezzük úgy egyenletünket, hogy egyik oldalra kerüljenek az 5 többszörösei, a másik oldalra pedig a többi tag.

\(\displaystyle 5(5x+13z)=413-59y.\)

Így már látható, hogy a jobb oldal is szorzattá alakítható, mert \(\displaystyle 413=7\cdot 59\).

\(\displaystyle 5(5x+13z)=59(7-y). \)

A bal oldalon 5-tel osztható pozitív egész szám van, a jobb oldal is pozitív és osztható 5-tel, ráadásul \(\displaystyle y\ge 0\), így \(\displaystyle 7-y=5\), azaz \(\displaystyle y=2\). Meg kell még oldanunk az

\(\displaystyle 5x+13z=59\)

lineáris diofantoszi egyenletet a nemnegatív egészek halmazán. A \(\displaystyle z\) értéke legfeljebb 4 lehet, mivel \(\displaystyle \frac{59}{13}<5\). Az utolsó számjegyek alapján \(\displaystyle 13z\) utolsó jegye csak \(\displaystyle 4\) vagy \(\displaystyle 9\) lehet, emaitt \(\displaystyle z=3\) és \(\displaystyle x=4\) az egyetlen lehetséges számpár.

Összefoglalva: 4 db 1300 Ft-os, 2 db 3000 Ft-os, 3 darab 3300 Ft-os, továbbá 404 db 50 Ft-os édességet vásároltunk.

Ellenőrzésképpen a vásárlási összeg valóban:

\(\displaystyle 4\cdot 1300+2\cdot 3000+3\cdot 3300+404\cdot 50=41300.\)

Statisztika:

193 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	132 versenyző.
3 pontot kapott:	23 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	19 dolgozat.

A KöMaL 2023. októberi matematika feladatai