 |
A B. 5358. feladat (2024. január) |
B. 5358. Legfeljebb hány különböző egész számot lehet megadni úgy, hogy közülük bármely kettő összege kettőhatvány (a 2-nek nemnegatív egész kivetős hatványa) legyen?
Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)
(3 pont)
A beküldési határidő 2024. február 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Három egész számot meg lehet így adni, például: \(\displaystyle -1\), \(\displaystyle 3\) és \(\displaystyle 5\). (Ekkor a páronkénti összegek: \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 8\)).
Háromnál többet azonban nem lehet megadni. Egyrészt, legfeljebb egy negatív lehet a megadott számok között, hiszen két negatív összege is negatív volna. Másrészt, ha lenne három pozitív: \(\displaystyle 0 < a < b < c\) a megadott számok között, akkor valamilyen \(\displaystyle k, \ell, m \neq 0\) egészekkel teljesülne az alábbi egyenletrendszer:
$$\begin{eqnarray*} a + b &=& 2^k, \\ a + c &=& 2^{\ell}, \\ b + c &=& 2^m. \end{eqnarray*}$$Itt \(\displaystyle a+b < a+c < b+c\), tehát \(\displaystyle k < \ell < m\). Ekkor teljesülne, hogy
\(\displaystyle 2a = (a+b) + (a+c) - (b+c) = 2^k + 2^{\ell} - 2^m < 2^{\ell} + 2^{\ell} - 2^m = 2^{\ell+1} - 2^m \leq 0, \)
ellentmondva az \(\displaystyle a > 0\) feltételnek.
Statisztika:
104 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 72 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 10 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 9 dolgozat.
A KöMaL 2024. januári matematika feladatai