 |
A B. 5368. feladat (2024. február) |
B. 5368. Egy pingpongbajnokságon teljes körmérkőzést játszottak, azaz mindenki mindenkivel pontosan egyszer játszott. A győzelemért \(\displaystyle 1\), a vereségért \(\displaystyle 0\) pont járt (döntetlen nincs a pingpongban). Érdekes módon volt egy olyan játékos, aki pontosan azokat az ellenfeleit győzte le, akik nála több pontot szereztek a bajnokság végére, és pontosan azoktól kapott ki, akik nála kevesebb pontot szereztek.
Legalább hány résztvevője lehetett a bajnokságnak?
(Lehetséges, hogy több versenyzőnek is ugyanannyi pontja lett a verseny végén. A bajnokságon legalább ketten vettek részt.)
Javasolta: Nagy Kartal (Budapest) és Hujter Bálint (Budapest)
(4 pont)
A beküldési határidő 2024. március 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen a feladatban vizsgált játékos Pál. Nem lehet olyan játékos, aki ugyanannyi pontot szerzett a bajnokság során, mint Pál, hiszen akkor Pál se nem győzhette volna le, se nem kaphatott volna ki tőle a feltételek szerint.
Nevezzük kispontúnak azokat a játékosokat, akik Pálnál kevesebb pontot szereztek és nevezzük nagypontúnak azokat, akik Pálnál több pontot szereztek a bajnokság végén.
A kispontú játékosok számát jelölje \(\displaystyle k\), a nagypontú játékosok számát pedig jelölje \(\displaystyle n\). Összesen tehát \(\displaystyle k+n+1\) játékos vett részt a versenyen, tehát egy játékos legfeljebb \(\displaystyle k+n\) pontot szerezhetett.
\(\displaystyle \binom{k}{2} = k \cdot \frac{k-1}{2}\) olyan meccs volt, amelyen két kispontú játszott egymás ellen. Tehát kell legyen olyan kispontú játékos, aki legalább \(\displaystyle \frac{k-1}{2}\) meccset megnyert a kispontú ellenfelei ellen. Mivel minden kispontú legyőzte Pált, ezért kijelenthető, hogy van olyan kispontú játékos, aki legalább \(\displaystyle 1 + \frac{k-1}{2} = \frac{k+1}{2}\) pontot szerzett.
\(\displaystyle \binom{n}{2} = n \cdot \frac{n-1}{2}\) olyan meccs volt, amelyen két nagypontú játszott egymás ellen. Van tehát olyan nagypontú játékos, aki legalább \(\displaystyle \frac{n-1}{2}\) meccset elvesztett nagypontú ellenfél ellen. Mivel még Páltól is kikapott, ezért legalább \(\displaystyle \frac{n-1}{2} +1\) meccset vesztett, azaz legfeljebb \(\displaystyle (n+k)-\left( \frac{n-1}{2} +1 \right) = \frac{n}{2}+k-\frac12\) pontot szerzett.
Ha Pál \(\displaystyle p\) pontot szerzett, akkor:
\(\displaystyle \frac{k+1}{2} \leq p -1 \quad \text{ és } \quad p + 1 \leq \frac{n}{2}+k-\frac12, \)
azaz
$$\begin{eqnarray*} \frac{k+1}{2} + 1 &\leq& \frac{n}{2}+k-\frac12 - 1 ,\\ k+1 + 2 &\leq& n+ 2k - 1 - 2, \\ 6 &\leq& n+k. \end{eqnarray*}$$Tehát Pálon kívül legalább 6, összesen tehát legalább 7 résztvevője kellett legyen a bajnokságnak.
7 résztvevővel megvalósíthatóak a feladat feltételei. Legyen \(\displaystyle n=k=3\), a nagypontúak és a kispontúak közötti összes meccset nyerjék meg a nagypontúak. A 3 nagypontú között pedig legyen körbeverés, csakúgy, mint a 3 kispontú között. Ekkor a nagypontúaknak \(\displaystyle k+1 = 4\) pontja, Pálnak \(\displaystyle n = 3\) pontja, a kispontúaknak pedig \(\displaystyle 1+1 = 2\) pontja van.
Statisztika:
98 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 58 versenyző. 3 pontot kapott: 15 versenyző. 2 pontot kapott: 10 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 4 dolgozat.
A KöMaL 2024. februári matematika feladatai