A B. 5376. feladat (2024. március)

B. 5376. Tekintsük a pozitív egész \(\displaystyle n\) számot, és osszuk el maradékosan az összes nála kisebb pozitív egésszel. Jelölje \(\displaystyle f(n)\) az osztás során fellépő osztási maradékok összegét. (Például \(\displaystyle n=5\) esetén a maradékok \(\displaystyle 1\)-gyel, \(\displaystyle 2\)-vel, \(\displaystyle 3\)-mal és \(\displaystyle 4\)-gyel osztva rendre: \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\) és \(\displaystyle 1\), azaz \(\displaystyle f(5)=4\).)

Oldjuk meg az \(\displaystyle f(n)=n\) egyenletet.

Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás: Vegyük észre, hogy az \(\displaystyle n\) szám felétől kezdve általában sok olyan szám jön, ami nem \(\displaystyle 0\) maradékot ad.

– Ha \(\displaystyle n=2k\), akkor \(\displaystyle n\)-nek a \(\displaystyle k+1\)-gyel, \(\displaystyle k+2\)-vel, ... , \(\displaystyle n-1\)-gyel vett osztási maradékainak az összege: \(\displaystyle (k-1)+(k-2)+...+1=\dfrac{k(k-1)}{2}\). Továbbá ez az összeg, \(\displaystyle \dfrac{k(k-1)}{2} > n=2k\), ha (rendezve az egyenlőtlenséget) \(\displaystyle \dfrac{k(k-5)}{2} > 0\), azaz ha \(\displaystyle k>5\) (azaz \(\displaystyle n=10\) fölött).

– Ha pedig \(\displaystyle n=2k+1\), akkor \(\displaystyle n\)-nek a \(\displaystyle k+1\)-gyel, \(\displaystyle k+2\)-vel, ... , \(\displaystyle n-1\)-gyel vett osztási maradékainak az összege: \(\displaystyle k+(k-1)+(k-2)+...+1=\dfrac{k(k+1)}{2}\). Továbbá ez az összeg, \(\displaystyle \dfrac{k(k+1)}{2} > 2k+2>n=2k+1\), ha (rendezve az egyenlőtlenséget) \(\displaystyle \dfrac{(k-4)(k+1)}{2} > 0\), azaz ha \(\displaystyle k>4\) (azaz \(\displaystyle n=9\)-nél, vagy afölött).

Vagyis az egyenlet \(\displaystyle n>10\) esetén nem teljesülhet, így elég néhány esetet végignézni. Ezekre az \(\displaystyle n\)-ekre a következő táblázat adja meg \(\displaystyle f(n)\)-et:

Azaz egyetlen megoldása van az egyenletnek, és ez \(\displaystyle n=8\).

Statisztika:

A B. 5376. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2024. márciusi matematika feladatai