Problem B. 5415. (November 2024)

B. 5415. Each of the three kids, Beni, Lili and Domi completes three laps on the athletics track. The referee keeps track of the names of each kid completing a lap, and thus gets a list of nine names. Find the number of different lists the referee can get supposing that no two kids complete a lap at the same time and the speed of each kid remains constant for all three laps.

Proposed by Péter Pál Pach, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on December 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), illetve \(\displaystyle c\), hogy Beninek, Lilinek, illetve Dominak mennyi idő szükséges egy kör teljesítéséhez. Ekkor a feltétel szerint az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle 2a\), \(\displaystyle 3a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle 2b\), \(\displaystyle 3b\) és \(\displaystyle c\), \(\displaystyle 2c\), \(\displaystyle 3c\) értékek mind különbözők, a leírt sorrendet pedig ennek a 9 számnak a nagyságsorrendje határozza meg.

Azt, hogy például \(\displaystyle ia\) és \(\displaystyle jb\) (ahol \(\displaystyle 1\leq i,j\leq 3\)) közül melyik a kisebb az határozza meg, hogy \(\displaystyle a/b\) értéke \(\displaystyle j/i\)-nél kisebb, vagy nagyobb. Ha a számegyenesen ábrázoljuk az összes \(\displaystyle j/i\) értéket (\(\displaystyle 1\leq i,j\leq 3\)), akkor az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle 2a\), \(\displaystyle 3a\),\(\displaystyle b\), \(\displaystyle 2b\), \(\displaystyle 3b\) lehetséges sorrendjeinek száma éppen annyi, ahány részre ezek a számegyenest felosztják, vagyis 1-gyel több, mint a számuk. (Mivel a lehetséges \(\displaystyle j/i\) arányok \(\displaystyle \frac13,\frac12, \frac23,1,\frac32,2,3\), ezért ha csak az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle 2a\), \(\displaystyle 3a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle 2b\), \(\displaystyle 3b\) lehetséges sorrendjeinek számát néznénk, akkor \(\displaystyle 7+1=8\) lenne a válasz.)

A 9 szám lehetséges sorrendjeinek meghatározásához tegyük fel, hogy \(\displaystyle a<b<c\), a szimmetria alapján az így kapott sorrendek számát \(\displaystyle 3!=6\)-tal szorozva kapjuk majd a feladat kérdésére a választ. Ha csak Beni és Lili áthaladási sorrendjét nézzük, akkor az számít, hogy a \(\displaystyle b/a\) arány az \(\displaystyle \left(1,\frac32\right)\), \(\displaystyle \left(\frac32,2\right)\), \(\displaystyle (2,3)\), \(\displaystyle (3,\infty)\) intervallumok közül melyikbe esik. Ugyanígy, csak Lili és Domi áthaladási sorrendjét nézve az a kérdés, hogy a \(\displaystyle c/b\) arány az \(\displaystyle \left(1,\frac32\right)\), \(\displaystyle \left(\frac32,2\right)\), \(\displaystyle (2,3)\), \(\displaystyle (3,\infty)\) intervallumok közül melyikbe esik. Ez így \(\displaystyle 4\cdot 4=16\) lehetőség lenne, világos, hogy mindig különböző sorrendet kapunk, azonban előfordulhat, hogy hiába tudjuk, \(\displaystyle b/a\), illetve \(\displaystyle c/b\) melyik intervallumba esik, még nem egyértelmű, hogy \(\displaystyle c/a\) hova esik. Ha \(\displaystyle b/a\in (p,q)\) és \(\displaystyle c/b\in (r,s)\) (ahol \(\displaystyle (p,q)\) és \(\displaystyle (r,s)\) is az \(\displaystyle \left(1,\frac32\right)\), \(\displaystyle \left(\frac32,2\right)\), \(\displaystyle (2,3)\), \(\displaystyle (3,\infty)\) intervallumok valamelyike), akkor \(\displaystyle c/a\in (pr,qs)\), így ebben az esetben a lehetséges sorrendek száma 1-gyel több, mint ahány érték a \(\displaystyle \frac32, 2,3\) közül a \(\displaystyle (pr,qs)\) intervallumba esik. Az alábbi táblázatban számoljuk össze, hogy \(\displaystyle c/b\) hányféle intervallumba eshet, ha tudjuk, hogy \(\displaystyle b/a\) és \(\displaystyle c/b\) hova esik:

(Például, ha \(\displaystyle 1<b/a<\frac32\) és \(\displaystyle 1<c/b<\frac32\), akkor \(\displaystyle c/a\) értéke bármi lehet az \(\displaystyle \left(1,\frac94\right)\) intervallumon belül, így \(\displaystyle c/a\) értéke az \(\displaystyle \left(1,\frac32\right)\), \(\displaystyle \left(\frac32,2\right)\) és \(\displaystyle (2,3)\) intervallumokba eshet, ami 3 lehetőség.)

Tehát a lehetséges sorrendek száma \(\displaystyle a<b<c\) esetén \(\displaystyle 3+2+2+1+2+2+1+1+2+1+1+1+1+1+1+1=23\), így összesen \(\displaystyle 23\cdot 6=138\) féle lehet a lista.

Statistics:

94 students sent a solution.
4 points:	Ali Richárd, Balla Ignác , Bodor Ádám, Bolla Donát Andor, Csató Hanna Zita , Görömbey Tamás, Hodossy Réka, Holló Martin, Kószó Ferenc, Maróti Bálint, Molnár István Ádám, Pletikoszity Martin, Sánta Gergely Péter, Sárdinecz Dóra, Sha Jingyuan, Szabó 721 Sámuel, Varga 511 Vivien, Vigh 279 Zalán, Wágner Márton, Wiener Marcell, Zhai Yu Fan.
3 points:	Aravin Peter, Blaskovics Ádám, Erdélyi Kata, Juhász-Molnár Mirkó, Klement Tamás, Li Mingdao, Nagypál Katóca, Sütő Áron, Szabó Imre Bence.
2 points:	13 students.
1 point:	17 students.
0 point:	31 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2024