Problem B. 5441. (February 2025)

B. 5441. Let \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\) and \(\displaystyle \gamma\) denote the angles of a triangle. Prove that \(\displaystyle \sin \frac{\alpha}{2}+\sin \frac{\beta}{2}+\sin \frac{\gamma}{2} \geq \cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma\).

Proposed by: Gábor Holló, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on March 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A koszinusz függvény addíciós képlete szerint

\(\displaystyle \cos x + \cos y = \cos \left(\frac{x+y}{2} + \frac{x-y}{2}\right) + \cos \left(\frac{x+y}{2} - \frac{x-y}{2}\right) =\cos\frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}-\sin\frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}+\)

\(\displaystyle +\cos\frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}+\sin\frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}= 2\cdot \cos \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x-y}{2}. \)

Ezzel a bizonyítandó egyenlőtlenség jobb oldala

\(\displaystyle \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \frac{1}{2}\left(\cos \alpha + \cos \beta\right) + \frac{1}{2}\left(\cos \alpha + \cos \gamma\right) + \frac{1}{2}\left(\cos \beta + \cos \gamma\right) = \)

\(\displaystyle = \cos \frac{\alpha + \beta}{2}\cdot \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + \cos \frac{\alpha + \gamma}{2}\cdot \cos \frac{\alpha - \gamma}{2} + \cos \frac{\beta + \gamma}{2}\cdot \cos \frac{\beta - \gamma}{2}.\)

Mivel \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\) és \(\displaystyle \gamma\) egy háromszög szögei, \(\displaystyle \cos \frac{\alpha + \beta}{2} = \cos \frac{180^{\circ} - \gamma}{2} = \cos (90^{\circ} - \frac{\gamma}{2}) = \sin \frac{\gamma}{2}\). Hasonlóan \(\displaystyle \cos \frac{\alpha + \gamma}{2} = \sin \frac{\beta}{2}\) és \(\displaystyle \cos \frac{\beta + \gamma}{2} = \sin \frac{\alpha}{2}\).

A bizonyítandó egyenlőtlenség jobb oldala így

\(\displaystyle \sin \frac{\gamma}{2}\cdot \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + \sin \frac{\beta}{2}\cdot \cos \frac{\alpha - \gamma}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}\cdot \cos \frac{\beta - \gamma}{2}. \)

A félszögek szinuszai nemnegatívak, és \(\displaystyle \cos \frac{\alpha - \beta}{2}\), \(\displaystyle \cos \frac{\alpha - \gamma}{2}\) és \(\displaystyle \cos \frac{\beta - \gamma}{2}\) mindegyike legfeljebb 1, így valóban

\(\displaystyle \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \sin \frac{\gamma}{2}\cdot \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + \sin \frac{\beta}{2}\cdot \cos \frac{\alpha - \gamma}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}\cdot \cos \frac{\beta - \gamma}{2} \le \sin \frac{\gamma}{2} + \sin \frac{\beta}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}. \)

Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha

\(\displaystyle \cos \frac{\alpha - \beta}{2} = \cos \frac{\alpha - \gamma}{2} = \cos \frac{\beta - \gamma}{2} =1, \)

azaz \(\displaystyle \alpha = \beta = \gamma\), vagyis a háromszög szabályos.

Statistics:

43 students sent a solution.
4 points:	Ali Richárd, Aravin Peter, Bencze Mátyás, Bolla Donát Andor, Bui Thuy-Trang Nikolett, Csató Hanna Zita , Diaconescu Tashi, Gaál Gergely, Hajszter Dóra, Holló Martin, Illés Dóra, Kámán-Gausz Péter, Li Mingdao, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Puppi Barna, Rajtik Sándor Barnabás, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Sárdinecz Dóra, Sun Wen Ze, Szabó 721 Sámuel, Török Eszter Júlia, Varga 511 Vivien, Vigh 279 Zalán, Virág Lénárd Dániel, Virág Tóbiás, Wágner Márton, Zhai Yu Fan.
3 points:	Harkay Ákos, Sógor-Jász Soma, Sütő Áron.
2 points:	2 students.
1 point:	4 students.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2025