Problem B. 5458. (April 2025)

B. 5458. Let \(\displaystyle I\) be the incenter of triangle \(\displaystyle ABC\), and let \(\displaystyle AB<AC\). The perpendicular to \(\displaystyle AI\) passing through \(\displaystyle I\) intersects line \(\displaystyle BC\) at \(\displaystyle P\), and line segment \(\displaystyle AP\) intersects the circumcircle of triangle \(\displaystyle ABC\) at \(\displaystyle Q\) for the second time. Prove that \(\displaystyle IQ\) is perpendicular to \(\displaystyle AP\).

Proposed by: Géza Kós, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on May 12, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Használjuk a szokásos jelöléseket. Ekkor \(\displaystyle IAB\sphericalangle=\alpha/2\), \(\displaystyle IBA\sphericalangle=\beta/2\) és \(\displaystyle ICB\sphericalangle=\gamma/2\), hiszen \(\displaystyle I\) a szögfelezők metszéspontja. Az \(\displaystyle ABI\) háromszögben szöget számolva \(\displaystyle BIA\sphericalangle=180^\circ-\alpha/2-\beta/2\), így \(\displaystyle PIA=90^\circ\) miatt \(\displaystyle BIP\sphericalangle=90^\circ-\alpha/2-\beta/2=\gamma/2\).

Ebből következik, hogy \(\displaystyle PIC\triangle\) és \(\displaystyle PBI\triangle\) hasonló, hiszen \(\displaystyle P\)-nél lévő szögük közös, valamint \(\displaystyle PIB\sphericalangle=ICP\sphericalangle.\)

A hasonlóság miatt \(\displaystyle PI/PC=PB/PI\), azaz \(\displaystyle PI^2=PB\cdot PC\). A \(\displaystyle P\) pont \(\displaystyle ABC\) körre vonatkozó hatványát kétféleképpen felírva kapjuk, hogy \(\displaystyle PA\cdot PQ=PB \cdot PC\), amiből \(\displaystyle PI^2=PA\cdot PQ\) következik.

Az előző összefüggést átrendezve \(\displaystyle PA/PI=PI/PQ\), ebből viszont \(\displaystyle IQP\triangle\sim AIP\triangle\) következik, hiszen a két háromszögnek \(\displaystyle P\)-nél közös szöge van. A hasonlóság miatt \(\displaystyle IQP\sphericalangle=AIP\sphericalangle=90^\circ\), amivel az állítást beláttuk.

Diszkusszió: \(\displaystyle AB<AC\) feltétel és \(\displaystyle BIA\sphericalangle=180^\circ -\alpha/2-\beta/2>90^\circ\) miatt \(\displaystyle P\) a \(\displaystyle BC\) szakasz \(\displaystyle B\)-n túli meghosszabbításán van, így az ábránk helyes. A \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle A\) pontok sorrendje is szükségképpen helyes az ábrán, de ezt a megoldásban nem használjuk ki.

Statistics:

22 students sent a solution.
5 points:	Ali Richárd, Aravin Peter, Bencze Mátyás, Bodor Ádám, Bui Thuy-Trang Nikolett, Diaconescu Tashi, Gyenes Károly, Hodossy Réka, Holló Martin, Kerekes András, Rajtik Sándor Barnabás, Sárdinecz Dóra, Sha Jingyuan, Vigh 279 Zalán, Zhai Yu Fan.
4 points:	Sajter Klaus, Szabó 721 Sámuel.
3 points:	1 student.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2025