Problem B. 5473. (September 2025)

B. 5473. The sum of some distinct positive integers is 1000. What is the largest possible value of their product?

Proposed by: Katalin Abigél Kozma, Győr

(4 pont)

Deadline expired on October 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Világos, hogy a számok megválasztására csak véges sok különböző lehetőség van (a számuk legfeljebb 1000 lehet, és mindegyikük szintén legfeljebb 1000). Ezért van (legalább) egy olyan eset, amikor a szorzat maximális. Legyenek ekkor a számok \(\displaystyle 1\leq a_1<a_2<\dots<a_k\). Először megmutatjuk, hogy a számok vagy az \(\displaystyle [a_1,a_k]\) intervallumba eső egész számok, vagy ezek egyetlen kivétellel. (Tehát számuk \(\displaystyle a_k-a_1+1\) vagy \(\displaystyle a_k-a_1\).)

Tegyük fel ugyanis indirekten, hogy az \(\displaystyle [a_1,a_k]\) intervallumból legalább két szám nincs kiválasztva, a legkisebb ilyen legyen \(\displaystyle b\), a legnagyobb pedig \(\displaystyle c\). (Ekkor \(\displaystyle a_1<b<c<a_k\).) A \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) számok definíciója alapján mind \(\displaystyle b-1\), mind \(\displaystyle c+1\) a tényezők között van, belátjuk, hogy nagyobb szorzatot kapunk, ha ezeket \(\displaystyle b\)-re és \(\displaystyle c\)-re cseréljük, ezzel a számok továbbra is különböző pozitív egészek maradnak, melyek összege 1000. Valóban, \(\displaystyle (b-1)(c+1)=bc+b-c-1<bc\), és így a teljes szorzat értéke is nagyobb lenne a csere után. Ez az ellentmondás mutatja, hogy az \(\displaystyle [a_1,a_k]\) intervallum elemei közül legfeljebb egy kivétellel minden pozitív egész szám ki van választva.

Vizsgáljuk meg, mekkora lehet \(\displaystyle a_1\). Világos, hogy \(\displaystyle a_1\ne 1\), hiszen ekkor \(\displaystyle a_1=1\)-et elhagyva és \(\displaystyle a_k\)-t \(\displaystyle (a_k+1)\)-re cserélve nagyobb szorzatot kapnánk: \(\displaystyle a_1=1\) esetén \(\displaystyle a_1a_2\dots a_k=a_2\dots a_k<a_2\dots a_{k-1}(a_k+1)\). Ugyanakkor \(\displaystyle 5\leq a_1\) sem lehet, mert ekkor \(\displaystyle a_1\)-et 2-re és \(\displaystyle (a_1-2)\)-re cserélve továbbra is különböző pozitív egész számokat kapnánk, melyek összege 1000, viszont \(\displaystyle 2(a_1-2)=2a_1-4>a_1\) miatt a szorzat nőne. Tehát \(\displaystyle a_1\) értéke csak 2, 3 vagy 4 lehet.

Ha \(\displaystyle a_1=2\), akkor \(\displaystyle a_k=45\), mert \(\displaystyle 2+3+\dots+45=1034\), és így \(\displaystyle a_k<45\) esetén az összeg legfeljebb \(\displaystyle 1034-45=989<1000\) lehetne, \(\displaystyle 45<a_k\) esetén pedig \(\displaystyle 1034\)-nél nagyobb lenne. Tehát \(\displaystyle a_1=2\) és \(\displaystyle a_k=45\), és így a számok a \(\displaystyle [2,45]\) egész elemei a 34 kivételével (hiszen legfeljebb egy szám hiányozhat), a szorzat pedig \(\displaystyle \frac{45!}{34}\).

Ehhez hasonlóan, ha \(\displaystyle a_1=3\), akkor szintén \(\displaystyle a_k=45\), mert \(\displaystyle 3+4+\dots+45=1032\), a számok pedig a \(\displaystyle [3,45]\) intervallum egész elemei a 32 kivételével, a szorzat pedig \(\displaystyle \frac{45!}{2\cdot 32}\).

Végül, ha \(\displaystyle a_1=4\), akkor ismét \(\displaystyle a_k=45\), hiszen \(\displaystyle 4+5+\dots+45=1029\), a számok pedig a \(\displaystyle [4,45]\) intervallum egész elemei a 29 kivételével, a szorzat pedig \(\displaystyle \frac{45!}{2\cdot 3\cdot 29}\).

A legnagyobb szorzatot \(\displaystyle a_1=2\) esetén kaptuk, a szorzat maximális értéke tehát \(\displaystyle \frac{45!}{34}\).

Statistics:

115 students sent a solution.
4 points:	Ali Richárd, Balla Ignác , Beinschroth Máté, Blaskovics Ádám, Diaconescu Tashi, Harkay Ákos, Holló Martin, Kerekes András, Lovas Márk, Mezei Marcell, Miszori Márton, Molnár-Sáska Tamás, Németh Bernát, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Sarusi-Kis Balázs, Szaszkó Benedek, Takács András, Tarján Emma, Tóth László Pál, Tóth Luca, Varsányi Benedek, Vincze Marcell, Weng Chenxin, Zhai Yu Fan, Zhu Yi.
3 points:	31 students.
2 points:	15 students.
1 point:	14 students.
0 point:	24 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2025