Problem B. 5480. (October 2025)

B. 5480. In triangle \(\displaystyle ABC\) angle \(\displaystyle \angle ACB\) is \(\displaystyle 90^{\circ}\). Let \(\displaystyle F\) denote the midpoint of leg \(\displaystyle AC\), and let \(\displaystyle G\) denote the midpoint of hypotenuse \(\displaystyle BC\). Prove that the circle with diameter \(\displaystyle FG\) is tangent to the incircle of triangle \(\displaystyle ABC\) if and only if \(\displaystyle AC=2BC\).

Proposed by Attila Sztranyák, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on November 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalainak hosszát szokásosan \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\)-vel, beírt körének középpontját \(\displaystyle I\)-vel, érintési pontját az \(\displaystyle AC\) oldalon \(\displaystyle E\)-vel. Ismert, hogy derékszögű háromszög beírt körének sugara \(\displaystyle r=\frac{a+b-c}{2}\). Ez biztosan kisebb, mint bármelyik befogó fele, mivel az átfogó a leghosszabb oldal. Emiatt az \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontok biztosan különbözők, a feladatban szereplő két kör az \(\displaystyle AC\) oldalt különböző pontokban érinti, csak külső érintésről lehet szó.

Tegyük fel először, hogy a két kör kívülről érinti egymást. Használjuk a következő ábra jelöléseit.

Legyen \(\displaystyle T\) a Thalész-kör \(\displaystyle H\) középpontjából a beírt kör \(\displaystyle IE\) sugarára állított merőleges talppontja. Az \(\displaystyle ITH\) háromszög oldalai: \(\displaystyle HT=CF-CE=\frac{b}{2}-r\), \(\displaystyle IT=\left|r-\frac{a}{4}\right|\), továbbá a külső érintés alapján \(\displaystyle IH=r+\frac{a}{4}\). Az \(\displaystyle ITH\) derékszögű háromszögre felírva Pitagorasz-tételt:

\(\displaystyle \left(\frac{b}{2}-r\right)^2+\left(r-\frac{a}{4}\right)^2=\left(r+\frac{a}{4}\right)^2.\)

A műveletek elvégzése után rendezve:

\(\displaystyle r(a+b-r)=\frac{b^2}{4}.\)

De derékszögű háromszögben \(\displaystyle a+b-r=a+b-\frac{a+b-c}{2}=\frac{a+b+c}{2}=s\). A terület kifejezései alapján így:

\(\displaystyle r(a+b-r)=rs=T=\frac{ab}{2}=\frac{b^2}{4},\)

tehát \(\displaystyle a=\frac{b}{2}\), vagyis \(\displaystyle AC=2BC\).

A megfordítás bizonyításához tegyük fel, hogy a derékszögű háromszögben \(\displaystyle AC=2BC\) és igazoljuk, hogy a két kör valóban kívülről érinti egymást. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy \(\displaystyle BC=a=1\) és ezzel együtt \(\displaystyle AC=b=2\), \(\displaystyle AB=c=\sqrt{5}\), végül \(\displaystyle r=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\). Tekintsük ismét az \(\displaystyle ITH\) derékszögű háromszöget. A befogók ismeretében felírjuk a Pitagorasz-tételt és ellenőrizzük, hogy az átfogó valóban a két kör sugarának összege lesz-e:

\(\displaystyle HT=\frac{b}{2}-r=1-\frac{3-\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2},\quad IT=\left|r-\frac{a}{4}\right|=\frac{3-\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{4}=\frac{5-2\sqrt{5}}{4}.\)

Számítsuk ki az \(\displaystyle ITH\) háromszög átfogójának négyzetét:

\(\displaystyle \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2+\left(\frac{5-2\sqrt{5}}{4}\right)^2=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}+\frac{45-20\sqrt{5}}{16}=\frac{49-2\cdot 7\cdot 2\sqrt{5}+20}{16}=\)

\(\displaystyle =\left(\frac{7-2\sqrt{5}}{4} \right)^2=\left(\frac{6-2\sqrt{5}}{4}+\frac{1}{4}\right)^2=\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{4}\right)^2=\left(r+\frac{a}{4}\right)^2. \)

A két kör valóban kívülről érinti egymást.

Megjegyzés. Ugyanezen feltétel esetén \(\displaystyle FG\) Thalész-köre az átfogó hozzáírt körét is érinti.

Statistics:

72 students sent a solution.
4 points:	Ali Richárd, Bao Nguyen Gia, Bodor Ádám, Danka Emma, Diaconescu Tashi, Ercse Ferenc, Ethan Y.Wang, Hideg János, Holló Martin, Kerekes András, Kővágó Edit Gréta, Li Mingdao, Lovas Márk, Maróti Olga, Mikó Hédi Irma, Miszori Gergő, Molnár-Sáska Tamás, Nagy 707 Botond, Nagypál Katóca, Papp Mátyás, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Sajter Klaus, Tóth László Pál, Vincze Marcell, Wiener Marcell.
3 points:	Balla Ignác , Beinschroth Máté, Budai Máté, Fodor Barna, Illés Dóra, József Áron, Körmöndi Márk, Lupkovics Lázár, Máté Kristóf, Miszori Márton, Molnár Lili, Papirnyy Oleksandr, Pázmándi József Áron, Sógor-Jász Soma, Takács András, Varga 511 Vivien.
2 points:	21 students.
1 point:	3 students.
0 point:	5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2025