Problem B. 5491. (November 2025)

B. 5491. Does there exist a set \(\displaystyle H\) of polynomials with integer coefficients and degree at least two such that every integer value is taken by exactly one polynomial in \(\displaystyle H\) at an integer place?

Proposed by Péter Pál Pach, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Igen, létezik ilyen halmaz. Vegyük észre, hogy ha vesszük az összes \(\displaystyle ax^3\) alakú polinomot, ahol \(\displaystyle a\) nemnegatív és köbmentes, akkor minden egész számot pontosan egy halmazbeli polinom vesz fel egész helyen, kivéve a \(\displaystyle 0\)-t, mert azt mindegyik felveszi, ezt kell kiküszöbölni.

Ha találunk olyan \(\displaystyle P_0(x), P_1(x), \ldots\) polinomokat, amikre minden nemnulla egész értéket pontosan egy \(\displaystyle P_n\) vesz fel egész helyen, a \(\displaystyle 0\) értéket pedig egyik sem, akkor az

\(\displaystyle x^3, \qquad aP_n(x)^3: \quad n=0,1,2,\ldots, \quad \text{\(\displaystyle a>1\) köbmentes}\)

halmaz megfelelő lesz.

Ilyen \(\displaystyle P_n\)-ek találása pedig már egy ismert feladat, legyen

\(\displaystyle P_n = 2^n(2x+1)\)

Ekkor \(\displaystyle P_n\)-ek értékkészlete diszjunkt, és minden egészt lefednek a \(\displaystyle 0\)-t kivéve

Statistics:

29 students sent a solution.
5 points:	Ali Richárd, Bodor Ádám, Ercse Ferenc, Gyenes Károly, Holló Martin, Máté Marcell, Molnár-Sáska Tamás, Sajter Klaus, Zhai Yu Fan.
4 points:	Baranyi Ernő.
3 points:	1 student.
2 points:	3 students.
1 point:	1 student.
0 point:	12 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2025