Problem B. 5505. (January 2026)

B. 5505. Let the diagonal \(\displaystyle AC\) and \(\displaystyle BD\) of cyclic quadrilateral \(\displaystyle ABCD\) intersect each other in point \(\displaystyle P\). Let \(\displaystyle K\) be the circumcenter of triangle \(\displaystyle APB\), and let \(\displaystyle M\) be the orthocenter of triangle \(\displaystyle CPD\). Prove that points \(\displaystyle K\), \(\displaystyle M\) and \(\displaystyle P\) are collinear.

Proposed by Mihály Bence, Brassó

(4 pont)

Deadline expired on February 10, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A \(\displaystyle KP\) egyenes és a \(\displaystyle CD\) oldal metszéspontja legyen a \(\displaystyle T\) pont. Azt fogjuk megmutatni, hogy ez a pont a \(\displaystyle CPD\) háromszög \(\displaystyle P\)-ből induló magasságvonalának talppontja. Mivel ezen a magasságvonalon a \(\displaystyle CPD\) magasságpontja is rajta van, ezzel már teljesül a feladat állítása: \(\displaystyle K, ~P\) és \(\displaystyle M\) egy egyenesen vannak.

Az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög, ezért \(\displaystyle ACD\sphericalangle\) és \(\displaystyle ABD\sphericalangle\) az \(\displaystyle AD\) húrhoz tatozó kerületi szögek, tehát egyenlők. Legyen ez a szög \(\displaystyle \varphi\).

Legyen az \(\displaystyle F\) pont a \(\displaystyle PA\) szakasz felezőpontja. Így \(\displaystyle KF\) az \(\displaystyle AP\) szakaszfelező merőlegese, \(\displaystyle KFP\sphericalangle\) derékszög.

Megmutatjuk, hogy a \(\displaystyle KFP\) háromszög hasonló a \(\displaystyle CTP\) háromszöghöz. A \(\displaystyle P\)-nél fekvő szögeik csúcsszögek, ezért ugyanakkorák, továbbá \(\displaystyle PKF\sphericalangle\) az \(\displaystyle APB\) háromszög körülírt körében a \(\displaystyle PKA\) középponti szög fele, így a kerületi és középponti szögek tétele alapján szintén \(\displaystyle \varphi\)-vel egyenlő. A két háromszögnek két-két szöge egyforma, tehát hasonlók. Ennek megfelelően a \(\displaystyle CTP\) háromszögben \(\displaystyle T\)-nél valóban derékszög van, a \(\displaystyle KP\) egyenes tartalmazza a \(\displaystyle CPD\) háromszög \(\displaystyle M\) magasságpontját.

Statistics:

60 students sent a solution.
4 points:	Albert Luca Liliána, Ali Richárd, Antal Tamás Botond, Balla Ignác , Benedek Olivér , Bodor Ádám, Bolla Donát Andor, Diaconescu Tashi, Ercse Ferenc, Hajba Milán, Hideg János, Holló Martin, Illés Dóra, Kerekes András, Kókai Ákos, Kun Zsófia, Kurucz Lilien Jázmin, Li Mingdao, Lovas Márk, Maróti Bálint, Maróti Olga, Mikó Hédi Irma, Molnár-Sáska Tamás, Mondovics Gábor , Nguyen Ngoc Mai, Papp Mátyás, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Rotter Szabolcs, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Schmidt Botond, Tóth Luca, Varga 511 Vivien, Várhegyi Hanna, Vincze Marcell, Wiener Marcell, Zhu Yi.
3 points:	Baranyi Ernő, Beinschroth Máté, Fodor Barna, Hajszter Dóra, Kővágó Edit Gréta, Miszori Márton, Molnár Lili, Nagypál Katóca, Sógor-Jász Soma, Vályi Nagy Ádám András, Weng Chenxin.
2 points:	2 students.
1 point:	3 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2026