Problem B. 5526. (April 2026)

B. 5526. Let \(\displaystyle P\) be an interior point of circle \(\displaystyle k\) with center \(\displaystyle O\), different from \(\displaystyle O\). Let \(\displaystyle O'\) be the reflection of point \(\displaystyle O\) across point \(\displaystyle P\). Let \(\displaystyle X\) be one of the intersection points of the circle with center \(\displaystyle O'\) and radius \(\displaystyle O'P\) and circle \(\displaystyle k\). Line \(\displaystyle XP\) intersects circle \(\displaystyle k\) at point \(\displaystyle Y\) for the second time. Prove that \(\displaystyle P\) trisects line segment \(\displaystyle XY\).

Proposed by Mathematics sophomores of University of Szeged

(3 pont)

Deadline expired on May 11, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az \(\displaystyle O'\) középpontú \(\displaystyle O'P\) sugarú \(\displaystyle k'\) kör \(\displaystyle P\)-vel átellenes pontja \(\displaystyle D\), az \(\displaystyle O\) középpontú \(\displaystyle k\) kör \(\displaystyle Y\)-nal átellenes pontja pedig \(\displaystyle E\).

Az \(\displaystyle EY\) a \(\displaystyle k\) kör átmérője, a \(\displaystyle PD\) a \(\displaystyle k'\) átmérője, így a két kör \(\displaystyle X\) metszéspontjából a Thalész-tétel alapján mindkét átmérő derékszögben látszik, azaz valójában \(\displaystyle X\) pont a \(\displaystyle DE\) szakasz belső pontja. Most tekintsük a \(\displaystyle DEY\) háromszöget. Ebben \(\displaystyle DO\) súlyvonal és a \(\displaystyle P\) pont ennek a súlyvonalnak a harmadolópontja, tehát a háromszög súlypontja. Így tudjuk, hogy az \(\displaystyle XY\) is súlyvonal, amelynek \(\displaystyle P\) harmadolópontja. Ezzel az állítást beláttuk.

Megjegyzés. A megoldás során kiderült, hogy az \(\displaystyle YX\) súlyvonal merőleges a \(\displaystyle DE\) oldalra, így ez egyben magasságvonal és oldalfelező merőleges is. Ez alapján \(\displaystyle DYE\) egyenlő szárú háromszög: \(\displaystyle DY=YE\).

Statistics:

63 students sent a solution.
3 points:	Albert Luca Liliána, Ali Richárd, Balla Ignác , Bao Nguyen Gia, Barabás Ákos, Baranyi Ernő, Beinschroth Máté, Benedek Olivér , Bodó Rókus Dániel, Budai Máté, Danka Emma, Erős-Joó Kristóf, Fajszi Horka, Farkas Réka, Gödry Miklós Gábor, Hajba Milán, Hajszter Dóra, Hideg János, Horák Zsófia, József Áron, Kiss Villő Zsófia, Kókai Ákos, Li Mingdao, Lovas Márk, Maróti Olga, Miszori Gergő, Miszori Márton, Molnár-Sáska Tamás, Nagy Ádám Kornél , Nagypál Katóca, Papp Mátyás, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Rotter Szabolcs, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Sasvári Zoltán, Sha Jingyuan, Takács András, Tóth László Pál, Tóth Luca, Várhegyi Hanna, Varsányi Benedek, Vincze Marcell, Weng Chenxin, Wiener Marcell, Winkler-Antal Dalma, Zhu Hongyu.
2 points:	7 students.
1 point:	6 students.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2026