Problem B. 5527. (April 2026)

B. 5527. The sides of acute triangle \(\displaystyle ABC\) are \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), and its inradius is \(\displaystyle r\). Prove that equality \(\displaystyle 2r^2=(c-a)(c-b)\) (also featured in problem B.5495.) holds if and only if \(\displaystyle a+b=3c\).

Proposed by Géza Kiss, Csömör

(4 pont)

Deadline expired on May 11, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A megoldás során felhasználjuk a háromszög területének ismert \(\displaystyle T=r\cdot s\) képletét, illetve a \(\displaystyle T=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) Héron-képletet (mindkettő képletben \(\displaystyle s\) a félkerületet jelöli, azaz \(\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}\)).

A \(\displaystyle 2r^2=(c-a)(c-b)\) képletből kiindulva szorozzuk mindkét oldalt \(\displaystyle s^2\)-tel, majd a bal oldalt helyettesítsük a Héron-képlet négyzetével, kapjuk, hogy \(\displaystyle 2T^2=2r^2s^2=s^2(c-a)(c-b)\), majd

\(\displaystyle 2s(s-a)(s-b)(s-c)=s^2(c-a)(c-b) \: .\)

Innen (a pozitív) \(\displaystyle s\)-sel egyszerűsítve, majd szorozva \(\displaystyle 4\)-gyel adódik:

\(\displaystyle 2(s-a)\cdot 2(s-b) \cdot 2(s-c)=2 \cdot 2 s(c-a)(c-b) \: .\)

Az \(\displaystyle s\) helyére \(\displaystyle \frac{a+b+c}{2}\)-t helyettesítve adódik \(\displaystyle 2(s-a)=2\frac{a+b+c-2a}{2} = (-a+b+c)\) (a \(\displaystyle 2(s-b)\) és a \(\displaystyle 2(s-c)\) tényezőket hasonlóan írjuk át). A helyettesítések után kapjuk:

\(\displaystyle (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)= 2(a+b+c)(c-a)(c-b) \: .\)

Felbontva a zárójeleket és kissé rendezve (újabb zárójelek kirakásával) adódik (mivel a bal oldal az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) betűkben szimmetrikus, ez kicsit könnyít a felbontáson):

\(\displaystyle -a^3-b^3 - c^3 +a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)-2abc=2(c^3+c(-a^2-b^2) +a^2b+ab^2-abc) \:.\)

Az egyenlet jobb oldalát \(\displaystyle 0\)-ra rendezve kapjuk:

\(\displaystyle -a^3-b^3-3c^3-a^2b-ab^2+3a^2c+3b^2c+ac^2+bc^2=0 \: .\)

Végül vegyük észre, hogy a bal oldalon \(\displaystyle a^2\)-t, \(\displaystyle b^2\)-t és \(\displaystyle c^2\)-t kiemelve \(\displaystyle a^2(-a-b+3c) + b^2(-a-b+3c)+c^2(a+b-3c)=0\) adódik. Innen a bal oldal már könnyen szorzattá alakítható, és az alábbi egyenlőséget kapjuk:

\(\displaystyle (a+b-3c)(c^2-a^2-b^2)=0 \:.\)

Az egyenlet bal oldala pontosan akkor \(\displaystyle 0\), ha a bal oldal valamelyik tényezője \(\displaystyle 0\). A második tényező – Pitagorasz tételének megfordítása miatt – pontosan akkor \(\displaystyle 0\), ha a háromszög derékszögű, és átfogója \(\displaystyle c\), ami nem lehet, mivel az \(\displaystyle ABC\) háromszög hegyesszögű.

Azaz \(\displaystyle a+b-3c=0\), és innen valóban teljesül \(\displaystyle a+b=3c\) amint azt igazolni is szerettük volna.

A megoldás során végig ekvivalens átalakításokat végeztünk (sem gyököt nem veszthettünk, sem gyököt nem nyerhettünk), azaz \(\displaystyle 2r^2=(c-a)(c-b)\) egyenlőség valóban akkor és csak akkor teljesül (hegyesszögű háromszög esetén), ha \(\displaystyle a+b=3c\).

Statistics:

55 students sent a solution.
4 points:	Albert Luca Liliána, Ali Richárd, Balla Ignác , Bao Nguyen Gia, Beinschroth Máté, Benedek Olivér , Bodor Ádám, Budai Máté, Diaconescu Tashi, Ercse Ferenc, Erős-Joó Kristóf, Fajszi Horka, Gaál Gergely, Hajba Milán, Hajszter Dóra, Hideg János, József Áron, Li Mingdao, Lovas Márk, Maróti Olga, Mi Feiyu, Mikó Hédi Irma, Miszori Gergő, Miszori Márton, Molnár Lili, Molnár-Sáska Tamás, Nagypál Katóca, Papp Mátyás, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Sasvári Zoltán, Sha Jingyuan, Sógor-Jász Soma, Tóth László Pál, Várhegyi Hanna, Varsányi Benedek, Vincze Marcell, Weng Chenxin, Wiener Marcell.
3 points:	Kókai Ákos, Szabó-Caceres Alan Martin, Szoldatics-Nagy Zsófia.
2 points:	6 students.
1 point:	2 students.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2026