Problem B. 5528. (April 2026)

B. 5528. Prove that no matter how we color the natural numbers using 100 colors, it is always possible to find numbers \(\displaystyle a<b<c<d\) with the same color satisfying \(\displaystyle a+d=b+c\).

Proposed by Dömötör Pálvölgyi, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on May 11, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen

\(\displaystyle A_n = \{101n, 101n+1, 101n+2, \cdots , 101n + 100 \},\)

ahol \(\displaystyle n \geq 0\). Tehát \(\displaystyle A_0, A_1, \cdots\) mind diszjunkt halmazok, amiket úgy kaptunk, hogy sorban felosztottuk \(\displaystyle 101\) méretű kupacokra a természetes számokat. Mivel \(\displaystyle A_n\) véges, ezért csak véges sokféleképpen tudjuk kiszínezni, tehát lesz \(\displaystyle A_m\) és \(\displaystyle A_n\), \(\displaystyle n > m\) melyek ugyanúgy vannak színezve.

Ez azt jelenti, hogy bármely \(\displaystyle k \in A_m\) ugyanolyan színű lesz, mint \(\displaystyle k + 101(n-m) \in A_n\). Mivel \(\displaystyle A_m\) \(\displaystyle 101\) elemű, ezért lesz benne két egyszínű szám, \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\), \(\displaystyle a < b\). Ekkor \(\displaystyle c=a + 101(n-m)\) és \(\displaystyle b + 101(n-m)\) is ugyanilyen színűek, \(\displaystyle a < b < c < d\) és

\(\displaystyle a+d = a+b + 202(n-m) = b+c\)

tehát ezzel bizonyítottuk az állítást.

Statistics:

Problem B. 5528. is not processed yet.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2026