Problem B. 5528. (April 2026)

B. 5528. Prove that no matter how we color the natural numbers using 100 colors, it is always possible to find numbers \(\displaystyle a<b<c<d\) with the same color satisfying \(\displaystyle a+d=b+c\).

Proposed by Dömötör Pálvölgyi, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on May 11, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen

\(\displaystyle A_n = \{101n, 101n+1, 101n+2, \cdots , 101n + 100 \},\)

ahol \(\displaystyle n \geq 0\). Tehát \(\displaystyle A_0, A_1, \cdots\) mind diszjunkt halmazok, amiket úgy kaptunk, hogy sorban felosztottuk \(\displaystyle 101\) méretű kupacokra a természetes számokat. Mivel \(\displaystyle A_n\) véges, ezért csak véges sokféleképpen tudjuk kiszínezni, tehát lesz \(\displaystyle A_m\) és \(\displaystyle A_n\), \(\displaystyle n > m\) melyek ugyanúgy vannak színezve.

Ez azt jelenti, hogy bármely \(\displaystyle k \in A_m\) ugyanolyan színű lesz, mint \(\displaystyle k + 101(n-m) \in A_n\). Mivel \(\displaystyle A_m\) \(\displaystyle 101\) elemű, ezért lesz benne két egyszínű szám, \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\), \(\displaystyle a < b\). Ekkor \(\displaystyle c=a + 101(n-m)\) és \(\displaystyle b + 101(n-m)\) is ugyanilyen színűek, \(\displaystyle a < b < c < d\) és

\(\displaystyle a+d = a+b + 202(n-m) = b+c\)

tehát ezzel bizonyítottuk az állítást.

Statistics:

64 students sent a solution.
4 points:	Áron Bence, Balla Ignác , Barabás Ákos, Baran Júlia, Baranyi Ernő, Beinschroth Máté, Bodó Rókus Dániel, Bodor Ádám, Danka Emma, Diaconescu Tashi, Ercse Ferenc, Fajszi Horka, Faragó Gyöngy Virág, Gaál Gergely, Gödry Miklós Gábor, Hajba Milán, Kovács Dorka Sára, Lovas Márk, Maróti Bálint, Miszori Márton, Molnár-Sáska Tamás, Nagy Ádám Kornél , Rajtik Sándor Barnabás, Rotter Szabolcs, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Sasvári Zoltán, Schmidt Botond, Sha Jingyuan, Sógor-Jász Soma, Szabó-Caceres Alan Martin, Taczman Vince, Varsányi Benedek, Vincze Blanka Anna, Vincze Marcell, Weng Chenxin, Wiener Marcell, Winkler-Antal Dalma.
3 points:	Ali Richárd, Blaskovics Ádám, Budai Máté, Hideg János, Horák Zsófia, Kiss Villő Zsófia, Kun Zsófia, Li Mingdao, Nagypál Katóca, Pázmándi József Áron, Tóth László Pál, Várhegyi Hanna.
2 points:	8 students.
1 point:	5 students.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2026