A C. 1002. feladat (2009. október)

C. 1002. Határozzuk meg azokat derékszögű háromszögeket, amelyek oldalainak mérőszáma egész, és kerületük és területük mérőszáma egyenlő.

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle a\le b <c\) a háromszög oldalainak hossza. A feltételek szerint \(\displaystyle a+b+c=ab/2\), továbbá \(\displaystyle a^2+b^2=c^2\). Pl. \(\displaystyle (a+b)^2\)-t felírva a feltételből kapjuk az

\(\displaystyle ab=8+4c\)

összefüggést. A háromszög-egyenlőtlenségből \(\displaystyle a+b>c\), így \(\displaystyle ab<8+4a+4b\), azaz \(\displaystyle \displaystyle{a<\frac{8+4b}{b-4}=4+\frac{24}{b-4}}\). Pl. grafikus megfontolás alapján, tekintve, hogy \(\displaystyle a\le b\), \(\displaystyle a<\sqrt{24}+4\), azaz \(\displaystyle a\le 8\). A pitagoraszi számhármasokat (illetve többszöröseit) felhasználva ennek a feltételnek csak a \(\displaystyle 3, 4, 5\), a \(\displaystyle 6, 8, 10\), az \(\displaystyle 5, 12, 13\) és a \(\displaystyle 7, 24, 25\) felelnek meg. A kerületre és a területre vonatkozó feltételeknek csak a második és a harmadik hármas felel meg.

Statisztika:

350 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	91 versenyző.
4 pontot kapott:	80 versenyző.
3 pontot kapott:	18 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	101 versenyző.
0 pontot kapott:	40 versenyző.
Nem versenyszerű:	12 dolgozat.

A KöMaL 2009. októberi matematika feladatai