A C. 1007. feladat (2009. november)

C. 1007. Bizonyítsuk be, hogy a derékszögű háromszög beírt körének átmérője mértani közepe az átfogó és az egyik befogó különbségének, valamint az átfogó és a másik befogó különbsége kétszeresének.

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A derékszögű háromszög befogóinak hossza legyenek \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\), az átogójának hossza \(\displaystyle c\), a beírt körének sugara pedig \(\displaystyle r\). Az átfogó és a befogók különbségei \(\displaystyle c-a\) és \(\displaystyle c-b\), az átmérő hossza \(\displaystyle 2r\). Bizonyítandó, hogy \(\displaystyle 2r=\sqrt{2(c-a)\cdot (c-b)}\), vagy - négyzetreemelés és 2-vel való osztás után - \(\displaystyle 2r^2=(c-a)(c-b)\). Egy derékszögű háromszögben az oldalak és a beírt kör sugara között a következő összefüggéseket használhatjuk:

\(\displaystyle a+b=c+2r \)

a beírt kör érintőszakaszaiból,

\(\displaystyle ab=(a+b+c)r, \)

ami a terület kétszerese. Az utóbbi az első összefügés segítségével \(\displaystyle ab=2r(a+b-r)\) alakban is felírható.

\(\displaystyle (c-a)(c-b)=c^2-(a+b)c + ab=a^2 + b^2 -(a+b)(a+b-2r)+ab\) Pithagoras tételének és az első összefüggésnek a felhasználásával. A szorzatot kifejtve a továbbiakban a második összefüggést használjuk:

\(\displaystyle =2r(a+b)-ab=2r\big( (a+b)-(a+b-r)\big)=2r^2\), amit igazolnunk kellett.

Statisztika:

255 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	193 versenyző.
4 pontot kapott:	50 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2009. novemberi matematika feladatai